Homotopia

Nota: L'article pot necessitar alguna petita correcció

En topologia, la noció d'homotopia recull l'ideal de què gaudeix la topologia de ser la geometria del full d'hule , és a dir, deformable. Dues aplicacions contínues d'un espai topològic en un altre es diuen homotòpiques (del grec homos = mateix i topos = lloc) si una d'elles es pot "deformar contínuament" en l'altra.

Una aplicació notable de l'homotopia és la definició dels grups homotòpics i cohomotòpics, invariants importants en la topologia algebraica.^[1]

Definició formal

Dues aplicacions contínues ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ es diuen homotòpiques si hi ha una altra aplicació (contínua també) ${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$ tal que:

${\displaystyle H(x,0)=f(x)\,}$

${\displaystyle H(x,1)=g(x)\,}$

Un exemple important és considerar les diferents classes (homotòpiques) de mapatges del cercle a un espai ${\displaystyle X}$

${\displaystyle S^{1}\to X\,}$

l'estructura resultant és l'importantíssim grup fonamental.

Tipus homotòpics

Es diu que dos espais X , Y són del mateix tipus homotòpic , si hi ha un parell d'aplicacions ${\displaystyle X{\stackrel {f}{\to }}Y}$ i ${\displaystyle Y{\stackrel {g}{\to }}X}$ tals que ${\displaystyle g\circ f}$ i ${\displaystyle f\circ g}$ són homotòpiques de ${\displaystyle Id_{X}}$ i ${\displaystyle Id_{Y}}$ respectivament.

Sol ser utilitzat el símbol: ${\displaystyle f\simeq g}$, per indicar que els objectes f i g són homotòpics .

Com a exemples, una 1-esfera i un tor sòlid tenen el mateix tipus homotòpic. La superfície del toro amb un "disc remogut" té el mateix tipus homotòpic que un producte cartesià de dues 1-esferes (bouquet de dos cercles).

Referències

Bibliografia

• Armstrong, M.A.. Basic Topology. Springer, 1979. ISBN 978-0-387-90839-7. 
• Michiel Hazewinkel (ed.). Homotopy. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Michiel Hazewinkel (ed.). Isotopy (in topology). Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Spanier, Edwin. Algebraic Topology. Springer, December 1994. ISBN 978-0-387-94426-5.