Integral de Böhmer

En matemàtiques, una integral de Böhmer (1939) és una integral introduïda per Böhmer (1939) generalitzant les integrals de Fresnel.

N'hi ha dues versions: [1][2]

La generalitzada del cosinus:

C ⁡ ( x , y ) = ∫ x ∞ t y − 1 cos ⁡ ( t ) d t {\displaystyle \operatorname {C} (x,y)=\int _{x}^{\infty }t^{y-1}\cos(t)\,dt}

La generalitzada del sinus:

S ⁡ ( x , y ) = ∫ x ∞ t y − 1 sin ⁡ ( t ) d t {\displaystyle \operatorname {S} (x,y)=\int _{x}^{\infty }t^{y-1}\sin(t)\,dt}

En conseqüència, la integral habitual de Fresnel s'expressa mitjançant les integrals de Böhmer de la següent manera:

S ⁡ ( y ) = 1 2 − 1 2 π ⋅ S ⁡ ( 1 2 , y 2 ) {\displaystyle \operatorname {S} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {S} \left({\frac {1}{2}},y^{2}\right)}
C ⁡ ( y ) = 1 2 − 1 2 π ⋅ C ⁡ ( 1 2 , y 2 ) {\displaystyle \operatorname {C} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {C} \left({\frac {1}{2}},y^{2}\right)}

També, mitjançant la integral generalitzada de Fresnel es poden expressar el sinus de la integral i el cosinus de la integral:

Si ⁡ ( x ) = π 2 − S ⁡ ( x , 0 ) {\displaystyle \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {S} (x,0)}
Ci ⁡ ( x ) = π 2 − C ⁡ ( x , 0 ) {\displaystyle \operatorname {Ci} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {C} (x,0)}

Vegeu també

  • Integral de Fresnel

Referències

  1. ↑ P. E. Böhmer.
  2. ↑ K. B. Oldham, J. C. Myland,J. Spanier. Un atles de funcions. — 2a ed. — Springer, 2008. — 748 p.

Bibliografia

  • Böhmer, Paul Eugen. Differenzengleichungen und bestimmte Integrale. (en alemany). Leipzig, K. F. Koehler Verlag, 1939.