Símbol de Jacobi

El símbol de Jacobi es fa servir en matemàtiques en l'àmbit de la teoria de nombres. S'anomena així en honor del matemàtic Carl Gustav Jacob Jacobi.

Definició

El símbol de Jacobi és una generalització del símbol de Legendre utilitzant la descomposició en producte de factors primers del nombre base. La seva definició és la següent:

Sia n un enter senar superior a 2 i n = p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p k α k {\displaystyle p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}} la descomposició de n en factors primers. Llavors, per a tot enter a, el símbol de Jacobi ( a n ) {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)} val:
( a p 1 ) α 1 ( a p 2 ) α 2 ⋯ ( a p k ) α k {\displaystyle \left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{\alpha _{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{\alpha _{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{k}}}\right)^{\alpha _{k}}}

on ( a p i ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p_{i}}}\right)} és el símbol de Legendre, és a dir:

( a p i ) = { 0 si  a   e ´ s m u ´ ltiple de  p i 1 si  a   e ´ s residu quadr a ` tic m o ` dul  p i − 1 altrament {\displaystyle \left({\frac {a}{p_{i}}}\right)={\begin{cases}0&{\text{si }}a\ \mathrm {\acute {e}} {\text{s m}}\mathrm {\acute {u}} {\text{ltiple de }}p_{i}\\1&{\text{si }}a\ {\acute {e}}{\text{s residu quadr}}\mathrm {\grave {a}} {\text{tic m}}\mathrm {\grave {o}} {\text{dul }}p_{i}\\-1&{\text{altrament}}\\\end{cases}}}

Propietats del símbol de Jacobi

El símbol de Jacobi posseeix nombroses propietats:

  1. Si n és primer, el símbol de Jacobi i el símbol de Legendre són equivalents,
  2. ( a n ) ∈ { 0 , 1 , − 1 } {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)\in \{0,1,-1\}}
  3. ( a n ) = 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=0} si i només si a i n no són pas primers entre ells,
  4. ( a b n ) = ( a n ) ( b n ) {\displaystyle \left({\frac {ab}{n}}\right)=\left({\frac {a}{n}}\right)\left({\frac {b}{n}}\right)} si n és senar.
  5. si a ≡ b (mod n) llavors ( a n ) = ( b n ) {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {b}{n}}\right)} si n és senar.
  6. ( 1 n ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)=1}
  7. ( − 1 n ) = ( − 1 ) ( n − 1 2 ) {\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}\right)}} las 1 si n ≡ 1 (mod 4) i −1 si n ≡ 3 (mod 4)
  8. ( 2 n ) = ( − 1 ) ( n 2 − 1 8 ) {\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\left({\frac {n^{2}-1}{8}}\right)}} val 1 si n ≡ 1 (mod 8) o n ≡ 7 (mod 8) i −1 si n ≡ 3 (mod 8) o n ≡ 5 (mod 8)
  9. ( m n ) = ( n m ) ( − 1 ) ( m − 1 2 ) ( n − 1 2 ) {\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=\left({\frac {n}{m}}\right)(-1)^{\left({\frac {m-1}{2}}\right)\left({\frac {n-1}{2}}\right)}} si m i n són senars, dit d'alta forma ( m n ) = ( n m ) {\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=\left({\frac {n}{m}}\right)} excepte si m i n són tots dos congruents a -1 (mod 4) en aquest cas ( m n ) = − ( n m ) {\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=-\left({\frac {n}{m}}\right)}

La darrera propietat és una generalització de la llei de reciprocitat quadràtica utilitzant el símbol de Legendre.

Residus

Els enunciats generals sobre els residus quadràtics que fan intervenir el símbol de Legendre no s'estenen al símbol de Jacobi. Tanmateix, si ( a n ) = − 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=-1} llavors a no és un residu quadràtic de n ja que a no és el residu quadràtic d'un dels pk que divideixen n.

En el cas on ( a n ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=1} , és impossible dir si a és un residu quadràtic de n. Ja que el símbol de Jacobi és un producte de símbols de Legendre, hi ha casos on dos símbols de Legendre són iguals a −1 i el símbol de Jacobi és igual a 1.

Enllaços externs

  • Càlcul del símbol de Jacobi Arxivat 2008-07-20 a Wayback Machine. (anglès)