Antisymetrická matice

Antisymetrická matice je v matematice, zvlášť v lineární algebře, čtvercová matice, jejíž transpozice se rovná záporně vzaté té samé matici, tedy platí ${\displaystyle A^{T}=-A}$.

V zápisu pomocí elementů matice, kde ${\displaystyle A_{ij}}$ značí element v ${\displaystyle i}$-tém řádku a ${\displaystyle j}$-tém sloupci, má podmínka tvar ${\displaystyle A_{ij}=-A_{ji}}$.

Například následující matice je antisymetrická:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{pmatrix}}}$

Vlastnosti

V tomto odstavci předpokládáme, že všechny elementy matice jsou prvky pole ${\displaystyle \mathbb {F} }$ které ma charakteristiku odlišnou od 2, tedy předpokládáme ${\displaystyle 1+1\neq 0}$, kde 1 je multiplikativní a 0 aditivní identita v daném poli. Pokud je charakteristika pole rovna 2, potom je antisymetrická matice stejný objekt, jako symetrická matice.

• Součet dvou antisymetrických matic je antisymetrická matice.
• Skalární násobek antisymetrické matice je antisymetrická matice.
• Elementy na diagonále antisymetrické matice jsou nulové, a tudíž je nulová její stopa.
• Pokud je ${\displaystyle A}$ antisymetrická matice s reálnými elementy (${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$), potom ${\displaystyle \det A\geq 0}$.
• Pokud je ${\displaystyle A}$ reálná antisymetrická matice a ${\displaystyle \lambda }$ je její reálné vlastní číslo, potom ${\displaystyle \lambda =0}$.
• Pokud je ${\displaystyle A}$ reálná antisymetrická matice, potom ${\displaystyle I+A}$ je regulární matice, kde ${\displaystyle I}$ je jednotková matice.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Skew-symmetric matrix na anglické Wikipedii.