Axiom silného výběru

Axiom silného výběru (též silný axiom výběru či zkráceně (AS), ekvivalentní s axiomem omezené velikosti) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které je nezávislé při všech obvyklých axiomatizacích této teorie. Často se přidává jako nový axiom, ale ve standardních axiomatizacích jakými jsou Zermelo-Fraenkelova nebo Von Neumann-Gödel-Bernaysova chybí, neboť má mnohé silné (a často nechtěné) důsledky.

Znění

Tato část článku potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ji vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

V Zermelo-Fraenkelově teorii množin (ZF) je nutné pro formulaci axiomu silného výběru rozšířit jazyk této teorie o jeden nový unární funkční symbol ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. (AS) lze pak formulovat takto:

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ je bijekce mezi univerzální třídou ${\displaystyle \mathbb {V} }$ a třídou všech ordinálních čísel ${\displaystyle \mathbb {O} }$n.

Ve Von Neumann-Gödel-Bernaysově teorii (NBG) lze vystačit s jazykem nerozšířeným při stejné definici.

Nezávislost

(AS) platí v jednom vnitřním modelu teorie množin, konkrétně v univerzu konstruovatelných množin. Je proto bezesporný s axiomy teorie množin. Protože (AS) implikuje (obyčejný) axiom výběru, plyne z nedokazatelnosti tohoto axiomu nedokazatelnost (AS). Tedy (AS) je nezávislý na axiomech (ZF).

Některé důsledky

Axiom silného výběru má mnoho silných důsledků, zde jsou některé z nich:

• (obyčejný) axiom výběru
• (v NBG) každé dvě vlastní třídy mají tutéž mohutnost (tj. existuje mezi nimi bijekce) (toto bývá nazýváno axiom omezené velikosti)
• (spolu s axiomem fundovanosti) existuje netriviální elementární vnoření univerza do tranzitivní třídy

Související články

• Axiom výběru
• Axiom superuniverzality