Definiční obor

Definiční obor zobrazení ${\displaystyle T:X\to Y}$ z množiny ${\displaystyle X}$ do množiny ${\displaystyle Y}$ tvoří právě ty prvky množiny ${\displaystyle X}$, pro něž je definován obraz v množině ${\displaystyle Y}$. Obecně nemusí být zobrazení ${\displaystyle T}$ definováno na celé množině ${\displaystyle X}$, v tom případě tvoří jeho definiční obor podmnožinu množiny ${\displaystyle X}$. Definiční obor funkce ${\displaystyle f}$ je množina všech hodnot, pro které je funkce ${\displaystyle f}$ definována.

Definice

V matematické notaci lze definiční obor pro zobrazení ${\displaystyle T:X\to Y}$ zapsat následovně:

${\displaystyle D_{T}=\{x\in X|(\exists y\in Y)(T(x)=y)\}}$.

Definiční obor zobrazení ${\displaystyle T}$ resp. funkce ${\displaystyle f}$ se značí ${\displaystyle D_{T}=D(T)}$ resp. ${\displaystyle D_{f}=D(f)}$. Pro definiční obor se v zahraniční literatuře používá označení doména, pro obor hodnot pak označení kodoména.

Omezení definičního oboru

Každou funkci (resp. obecněji zobrazení) je možno omezit na libovolnou podmnožinu jejího definičního oboru. Tedy máme-li funkci ${\displaystyle f:X\to Y}$ a platí-li ${\displaystyle A\subseteq X}$, můžeme omezit funkci ${\displaystyle f}$ na množinu ${\displaystyle A}$, což značíme:

${\displaystyle f|_{A}:A\rightarrow Y}$.

Takto upravená funkce pak působí na prvky z množiny ${\displaystyle A}$ stejným způsobem jako předtím na všechny prvky z množiny ${\displaystyle X}$. Jediným rozdílem je, že už má smysl hovořit o jejích hodnotách jen na prvcích z množiny ${\displaystyle A}$. Pro funkci ${\displaystyle f}$ se ${\displaystyle f_{A}}$ nazývá zúžení (restrikce) ${\displaystyle f}$ na množinu ${\displaystyle A}$.

Příklad

• Definiční obor mohou kromě čísel tvořit také např. funkce. Uvažujme množinu ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ a operátor derivace ${\displaystyle {\text{Der}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$, který vezme funkci a vrátí její derivaci, tj. opět nějakou funkci, pak definiční obor operátoru derivace ${\displaystyle {\text{Der}}}$ tvoří ty funkce z ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, pro něž existuje jejich derivace. Tento příklad ukazuje zobrazení, které není definováno na celé „vstupní“ množině, protože ne všechny funkce mají derivaci.
• Uvažujme topologický prostor ${\displaystyle X}$ a na něm definované zobrazení ${\displaystyle T}$ zobrazující do množiny ${\displaystyle Y}$. O zobrazení ${\displaystyle T}$ řekneme, že je hustě definované, právě když je jeho definiční obor hustou podmnožinou topologického prostoru ${\displaystyle X}$, tj. ${\displaystyle {\overline {(D_{T})}}=X}$, kde pruh nad množinou značí uzávěr této množiny.

Odkazy

Literatura

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

• JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet I. 7. vyd. Praha: Academia, 1984. 392 s. 

Související články

• Obor hodnot
• Zobrazení (matematika)