Eisensteinovo kritérium

Eisensteinovo kritérium nerozložitelnosti je v matematice, zejména v jejím podoboru algebře, postačující, ale nikoliv nutnou podmínkou pro nerozložitelnost polynomu s celočíselnými koeficienty v racionálních číslech.

Kritérium je pojmenováno po německém matematikovi Gottholdu Eisensteinovi, který jej zveřejnil v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik v roce 1850. Někdy se také nazývá Schönemannovo kritérium nebo Eisensteinovo-Schönemannovo kritérium, protože německý matematik Theodor Schönemann zveřejnil ve stejném časopise jinou formulaci tohoto kritéria už v roce 1846.

Moderní formulace kritéria

Celočíselné polynomy

Nechť je ${\displaystyle f(x)}$ mnohočlen stupně ${\displaystyle n}$ s koeficienty z oboru celých čísel, tedy ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$, a nechť existuje prvočíslo ${\displaystyle p}$ takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho čtverec také nedělí konstantní koeficient, tedy:

• ${\displaystyle p\mid a_{i}}$ pro všechna ${\displaystyle i<n}$,
• ${\displaystyle p^{2}\nmid a_{0}}$ a
• ${\displaystyle p\nmid a_{n}}$,

pak je mnohočlen ${\displaystyle f(x)}$ ireducibilní v oboru ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$, tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.^[1]

Jiná možná formulace podmínky ohledně dělitelnosti vedoucího koeficientu uvažuje pouze normovaný polynom, tedy s vedoucím koeficientem rovným jedné.^[2]

Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty

Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny zlomky: Nechť je ${\displaystyle f(x)={\frac {b_{n}}{c_{n}}}x^{n}+\cdots +{\frac {b_{1}}{c_{1}}}x+{\frac {b_{0}}{c_{0}}}}$, kde zlomky jsou v základním tvaru, tedy největší společný dělitel ${\displaystyle NSD(b_{i},c_{i})}$ je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo ${\displaystyle p}$ takové, že

• ${\displaystyle p}$ dělí ${\displaystyle b_{k}}$ pro ${\displaystyle k\leq n}$,
• ${\displaystyle p}$ nedělí ${\displaystyle b_{n}}$ a ${\displaystyle c_{n}}$ a
• ${\displaystyle p^{2}}$ nedělí ${\displaystyle b_{0}}$.

Pak je ${\displaystyle f(x)}$ nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.^[3]

Zobecnění pro gaussovské obory

Nechť je ${\displaystyle R}$ Gaussův obor integrity a ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$ mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu ${\displaystyle R[x]}$. Pak pokud je ${\displaystyle f(x)}$ primitivní a existuje ireducibilní prvek ${\displaystyle p\in R}$ splňující

• ${\displaystyle p\mid a_{i}}$ pro všechna ${\displaystyle i<n}$,
• ${\displaystyle p^{2}\nmid a_{0}}$ a

pak je polynom ${\displaystyle f(x)}$ v ${\displaystyle R[x]}$ ireducibilní.^[4]

Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů

Nechť je ${\displaystyle R}$ obor integrity a ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$ mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu ${\displaystyle R[x]}$. Pokud existuje v oboru ${\displaystyle R}$ prvoideál ${\displaystyle P}$ takový, že

• ${\displaystyle a_{i}\in P}$ pro všechna ${\displaystyle i<n}$,
• ${\displaystyle a_{n}\notin P}$ a
• ${\displaystyle a_{0}\notin P^{2}}$ (${\displaystyle P^{2}}$ je součin ideálu ${\displaystyle P}$ s ním samým),

pak nelze zapsat ${\displaystyle f(x)}$ jako součin dvou nekonstantních polynomů v ${\displaystyle R[x]}$. Je-li navíc ${\displaystyle f(x)}$ primitivním polynomem, tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v ${\displaystyle R[x]}$. Pokud je ${\displaystyle R}$ Gaussův obor integrity a jeho podílovým tělesem je ${\displaystyle T}$, pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z ${\displaystyle R}$ jsou v ${\displaystyle T}$ jednotkami).

Reference