Frekvenční modulace

Principem frekvenční modulace (FM) je závislost okamžité frekvence nosné vlny na změnách amplitudy modulačního signálu. Můžeme říct, že okamžitá úhlová frekvence ${\displaystyle \Omega (t)}$ je funkcí času a mění se v rytmu okamžité výchylky modulačního signálu. Informace je tedy kódována nikoliv změnou amplitudy nebo fáze, ale změnou frekvence nosné vlny. Maximální amplitudě napětí modulačního průběhu ${\displaystyle U_{m}}$ odpovídá maximální změna frekvence nosné, kterou nazýváme frekvenční zdvih a značíme ${\displaystyle \Delta f}$, čemuž odpovídá úhlová frekvence ${\displaystyle \Delta \Omega }$.

Matematický popis

Obecně bude mít nosná vlna následující průběh:

${\displaystyle u_{n}(t)=U_{n}\sin(\Omega t+\phi )\,}$

kde ${\displaystyle U_{n}}$ je amplituda nosné, ${\displaystyle \Omega }$ je úhlová frekvence nosné a ${\displaystyle \phi }$ fáze.

V případě frekvenční modulace je funkcí času právě úhlová frekvence ${\displaystyle \Omega }$.

Úhlovou frekvenci jako harmonickou funkci času můžeme vyjádřit vztahem:

${\displaystyle \Omega (t)=\Omega +\Delta \Omega \cos(\omega t)\,}$

kde ${\displaystyle \Delta \Omega }$ je frekvenční zdvih, ${\displaystyle \omega }$ pak úhlová frekvence modulační vlny.

Po dosazení do rovnice nosné vlny a položením fázového posuvu ${\displaystyle \phi =0}$ (jeho velikost je konstantní a nemá vliv na výsledek dalších odvození a výpočtů) dostáváme vztah:

${\displaystyle u_{n}(t)=U_{n}\sin((\Omega +\Delta \Omega \cos(\omega t))t)=U_{n}\sin(\Phi (t,\omega ))\,}$

kde funkce ${\displaystyle \Phi (t,\omega )}$ je okamžitá fáze napětí a pro ${\displaystyle \phi =0}$ je integrálem úhlové frekvence ${\displaystyle \Omega (t)}$ podle ${\displaystyle t}$. Platí tedy:

${\displaystyle \Phi (t,\omega )=\int \Omega (t)\,\mathrm {d} t=\int (\Omega +\Delta \Omega \cos(\omega t))\mathrm {d} t=\Omega t+{\frac {\Delta \Omega }{\omega }}\sin(\omega t)}$

Dále zavádíme parametr zvaný modulační index FM označený ${\displaystyle m_{FM}}$:

${\displaystyle m_{FM}={\frac {\Delta \Omega }{\omega }}={\frac {2\pi \Delta f}{2\pi f_{m}}}}$

kde ${\displaystyle \Delta f}$ je frekvenční zdvih a ${\displaystyle f_{m}}$ frekvence modulačního signálu.

Dosazením funkce ${\displaystyle \Phi (t,\omega )}$ zpět do rovnice ${\displaystyle u_{n}=U_{n}\sin(\Phi (t,\omega ))\,}$ dostáváme obvyklý tvar rovnice frekvenčně modulované vlny:

${\displaystyle u_{n}=U_{n}\sin(\Omega t+m_{FM}\sin(\omega t))\,}$

kde ${\displaystyle u_{n}}$ je okamžitá hodnota napětí modulovaného signálu, ${\displaystyle U_{n}}$ amplituda nosné vlny, ${\displaystyle \Omega }$ úhlová frekvence nosné vlny, ${\displaystyle m_{FM}}$ modulační index a ${\displaystyle \omega }$ frekvence modulační vlny.

Spektrum frekvenčně modulovaného signálu

Úpravou rovnice frekvenčně modulované vlny podle vzorce pro součin argumentů funkce sinus získáme rovnici ve tvaru:

${\displaystyle u_{n}=U_{n}(\sin(\Omega t)\cos(m_{FM}\sin(\omega t))+\cos(\Omega t)\sin(m_{FM}\sin(\omega t)))\,}$

Dále platí, že lze provést tento rozvoj:

${\displaystyle \sin(m_{FM}\sin(\omega t))=2J_{1}(M_{FM})\sin(\omega t)+2J_{3}(M_{FM})\sin(3\omega t)+2J_{5}(M_{FM})\sin(5\omega t)+\cdots \,}$

${\displaystyle \cos(m_{FM}\sin(\omega t))=J_{0}(M_{FM})+2J_{2}(M_{FM})\cos(2\omega t)+2J_{4}(M_{FM})\cos(4\omega t)+\cdots \,}$

Vidíme, že vzniká nekonečná řada součinů. Funkce označené jako ${\displaystyle J_{n}(m_{FM})}$ jsou Besselovy funkce I. druhu n-tého řádu s argumentem ${\displaystyle m_{FM}}$, což je modulační index FM. Dosazením do poslední rovnice a další úpravou podle vzorců pro součiny goniometrických funkcí získáme nekonečnou řadu diskrétních složek o úhlových frekvencích:

${\displaystyle \Omega ,\Omega -\omega ,\Omega -2\omega ,\Omega -3\omega ,\Omega -4\omega ,\Omega -5\omega ,\dots \,}$

${\displaystyle \Omega +\omega ,\Omega +2\omega ,\Omega +3\omega ,\Omega +4\omega ,\Omega +5\omega ,\dots \,}$

Z výše uvedeného rozvoje vyplývá, že frekvenční modulace jednou frekvencí ${\displaystyle \omega }$ vytvoří nekonečně mnoho postranních frekvencí, jež jsou rozmístěny symetricky na obě strany od nosné frekvence ve vzdálenostech daných násobky modulační frekvence ${\displaystyle \omega }$. Amplitudy nosné vlny i jednotlivých postranních frekvencí jsou dány hodnotami Besselových funkcí I. druhu ${\displaystyle J_{n}(m_{FM})}$ a jsou tedy závislé na modulačním indexu. Směrem od nosné tyto amplitudy postupně klesají, nikoliv však monotónně. Pro některé konkrétní hodnoty modulačního indexu mohou jednotlivé složky zcela vymizet (hodnota funkce ${\displaystyle J_{n}(m_{FM})}$ je právě nulová). Stejně tak může vymizet i nosná vlna, platí-li, že ${\displaystyle J_{0}(m_{FM})=0}$. Vzhledem ke klesajícím hodnotám amplitud jednotlivých složek klesá jejich vliv na kvalitu přenosu. Pro dostatečně kvalitní přenos pak stačí přenášet pouze několik prvních postranních frekvencí. Kolik je jich v konkrétním případě třeba závisí na modulačním indexu a přípustné degradaci přenášeného signálu. Pro kvalitní přenos je třeba modulační index zhruba 3 až 5. Nižší způsobuje větší zkreslení, vyšší zhoršuje odstup signál / šum. Pro zlepšení šumových poměrů se při FM přenosu běžně používá nadzvednutí vyšších frekvencí modulačního spektra (nízkofrekvenční preemfáze a deemfáze).

Potřebná šířka přenosového pásma je závislá na modulačním indexu ${\displaystyle m_{FM}}$. Pro hodnotu ${\displaystyle m_{FM}=5}$ se uvádí následující empirický vzorec:

${\displaystyle B\geq 2(\Delta f+f_{max})\,}$

kde ${\displaystyle \Delta f}$ je frekvenční zdvih a ${\displaystyle f_{max}}$ je maximální modulační frekvence.

Využití

FM je běžně využívána v pásmu VHF pro kvalitní přenos zvuku. Zvuk u klasických analogových televizních soustav je také přenášen za použití frekvenční modulace, pro komerční i radioamatérské komunikační účely je využívána její úzkopásmová forma. Dalším využitím je FM syntéza, která získala oblibu díky raným syntezátorům a stala se standardním způsobem syntézy zvuku u několika generací zvukových karet. Bez FM by se taktéž neobešel analogový magnetický záznam obrazu, kde je s malým modulačním indexem používána pro snížení oktávového rozsahu zaznamenávaného signálu, a to z cca 18 oktáv na méně než 3 oktávy.

Parametry některých aplikací FM

Služba	${\displaystyle f_{max}}$	${\displaystyle \Delta f}$	${\displaystyle m_{FM}}$
FM rozhlas mono	15 kHz	75 kHz	5
FM rozhlas stereo	53 kHz	75 kHz	1,42
TV zvuk	15 kHz	50 kHz	3,33
Komunikační účely			< 0,5

Související články

• Modulace
• Amplitudová modulace
• Fázová modulace
• Pulzní modulace

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu frekvenční modulace na Wikimedia Commons
• Metody frekvenční modulace a demodulace
• Problémy s příjmem FM
• Norsko skončilo s FM a přešlo na DAB, Lupa.cz, 15.12.2017