Homogenní diferenciální rovnice

Termín „homogenní“ se v matematice používá v několika významech:

1. Homogenní funkce
2. Homogenní typ diferenciálních rovnic prvního řádu
3. Homogenní diferenciální rovnice (v protikladu k „nehomogenním“ diferenciálním rovnicím); jedná se o vlastnost určitých lineárních diferenciálních rovnic, která nesouvisí s výše uvedenými dvěma případy

Homogenní funkce

Definice. Funkci  ${\displaystyle f(x)}$  nazýváme homogenní funkcí stupně n, jestliže znásobením proměnné konstantním parametrem  ${\displaystyle \lambda }$ dostaneme:

${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda ^{n}f(x)\,.}$

Tuto definici můžeme zobecnit na funkce více proměnných; například funkce dvou proměnných ${\displaystyle f(x,y)}$ se nazývá homogenní stupně n, jestliže nahrazením obou proměnných  ${\displaystyle x}$  a  ${\displaystyle y}$  jejich násobkem  ${\displaystyle \lambda x}$  a  ${\displaystyle \lambda y}$,  dostaneme

${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}f(x,y)\,.}$

Příklad. Funkce  ${\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-3y^{2}+4xy)}$  je homogenní funkcí stupně 2 protože:

${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y)=[2(\lambda x)^{2}-3(\lambda y)^{2}+4(\lambda x\lambda y)]=(2\lambda ^{2}x^{2}-3\lambda ^{2}y^{2}+4\lambda ^{2}xy)=\lambda ^{2}(2x^{2}-3y^{2}+4xy)=\lambda ^{2}f(x,y).}$

Tato definice homogenní funkce se používá pro klasifikaci určitého typu diferenciálních rovnic prvního řádu.

Homogenní typ diferenciálních rovnic prvního řádu

Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu ve tvaru:

${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$

je homogenního typu, jestliže obě funkce M(x, y) a N(x, y) jsou homogenní funkce stejného stupně n^[1]. To znamená, že vynásobením každé proměnná parametrem  ${\displaystyle \lambda }$ dostáváme:

${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\,}$     a     ${\displaystyle N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}$

odtud

${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}$

Metoda řešení

V podílu   ${\displaystyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$ můžeme položit   ${\displaystyle t=1/x}$.   Tím podíl zjednodušíme na nějakou funkci ${\displaystyle f}$ jedné proměnné ${\displaystyle y/x}$:

${\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}$

Provedeme substituci ${\displaystyle y=ux}$ a výsledek zderivujeme pomocí součinového pravidla:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (ux)}{\mathrm {d} x}}=x{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+u{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}=x{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+u,}$

čímž převedeme původní diferenciální rovnici na tvar umožňující separaci proměnných:

${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}=f(u)-u\,;}$

tento tvar můžeme přímo integrovat (viz obyčejná diferenciální rovnice).

Speciální případ

Diferenciální rovnici prvního řádu tvaru:

${\displaystyle (ax+by+c)\,\mathrm {d} x+(ex+fy+g)\,\mathrm {d} y=0\,,}$

(kde a, b, c, e, f, g jsou konstanty) můžeme převést na homogenní tvar lineární transformací obou proměnných (${\displaystyle \alpha }$ a ${\displaystyle \beta }$ jsou konstanty):

${\displaystyle t=x+\alpha ;\,\,\,\,z=y+\beta \,.}$

Homogenní lineární diferenciální rovnice

Definice. Lineární diferenciální rovnice se nazývá homogenní, pokud splňuje následující podmínku: Je-li  ${\displaystyle \phi (x)}$  řešením rovnice, pak je řešením i  ${\displaystyle c\phi (x)}$, kde ${\displaystyle c}$ je libovolná (nenulová) konstanta. Aby tato podmínka byla splněna, každý term v lineární diferenciální rovnici se závislou proměnnou y musí obsahovat y nebo nějakou derivaci y; konstantní term homogenitu narušuje. Lineární diferenciální rovnice, která tuto podmínku nesplňuje, se nazývá nehomogenní.

Lineární diferenciální rovnice můžeme reprezentovat aplikací lineárního operátoru na y(x) kde x je nezávislá proměnná a y je závislá proměnná. Homogenní lineární diferenciální rovnice pak má následující tvar:

${\displaystyle L(y)=0\,}$

${\displaystyle }$kde L je diferenciální operátor tj. součet derivací, z nichž každá je znásobena nějakou funkcí  ${\displaystyle f_{i}}$  proměnné x:

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x){\frac {\mathrm {d} ^{i}}{\mathrm {d} x^{i}}}\,;}$

přitom  ${\displaystyle f_{i}}$  mohou být konstanty, ale všechny  ${\displaystyle f_{i}}$  se nesmí definitoricky rovnat nule.

Například následující diferenciální rovnice je homogenní

${\displaystyle \sin(x){\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+4{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+y=0\,,}$

zatímco následující dvě jsou nehomogenní:

${\displaystyle 2x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+4x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+y=\cos(x)\,;}$

${\displaystyle 2x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-3x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+y=2\,.}$

Související články

• Metoda separace proměnných

Poznámky

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Homogeneous differential equation na anglické Wikipedii.

• BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Elementary differential equations and boundary value problems. 10. vyd. [s.l.]: Wiley, 2012. Dostupné online. ISBN 978-0470458310. . (Dobrý úvod do diferenciálních rovnic.)
• INCE, E. L. New York: Dover Publications, 1956. Dostupné online. ISBN 0486603490. . (Klasické referenční příručka o obyčejných diferenciálních rovnicích, poprvé publikovaná v roce 1926.)

Externí odkazy

• Homogenní diferenciální rovnice v MathWorld
• Wikibooks: Obyčejné diferenciální rovnice/substituce 1