Husté uspořádání

Husté uspořádání je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání.
Motivací k zavedení tohoto pojmu je zobecnění vlastností množiny racionálních čísel při běžném uspořádání podle velikosti.

Definice

Řekneme, že ostré lineární uspořádání R na množině A je husté, pokud mezi každé dva různé prvky množiny A lze vložit jiný její prvek ( ∀ x , y ∈ A ) ( ∃ z ∈ A ) ( x < R z < R y ) {\displaystyle (\forall x,y\in A)(\exists z\in A)(x<_{R}z<_{R}y)\,\!}

Vlastnosti

Snadno se dá ověřit, že mezi každými dvěma různými prvky hustě uspořádané množiny leží nekonečně mnoho jejích prvků.
Budu-li uvažovat o běžném uspořádání čísel podle velikosti relací < {\displaystyle <\,\!} , pak

  • množina R {\displaystyle \mathbb {R} \,\!} všech reálných čísel je hustě uspořádaná
  • každý interval na množině reálných čísel je hustě uspořádaný
  • množina Q {\displaystyle \mathbb {Q} \,\!} všech racionálních čísel je hustě uspořádaná, stejně jako každý její interval
  • množina přirozených čísel není hustě uspořádaná podle velikosti - například mezi 1 a 2 neexistuje žádné další přirozené číslo

Zajímavé je, že pro spočetné množiny lze při zkoumání vlastností hustých uspořádání vystačit s Q {\displaystyle \mathbb {Q} \,\!} , jak ukazuje následující věta, vyslovená a dokázaná Georgem Cantorem:

Každá hustě uspořádaná spočetná množina bez nejmenšího a největšího prvku je izomorfní s Q {\displaystyle \mathbb {Q} \,\!} .

Související články