Jednadvacetiúhelník

Jednadvacetiúhelník (cizím slovem icosikaihenagon, icosihenagon či henicosagon^[1], z řec. είκοσι ένα, eíkosi éna - dvacet jedna, a γωνία, gonía - úhel) je mnohoúhelník s jednadvaceti vnitřními úhly, vrcholy a stranami.

Číselné údaje

Součet středových úhlů je u všech mnohoúhelníků 360°, jeden středový (a tedy i vnější) úhel bude tedy ${\displaystyle {\frac {360}{21}}^{\circ }=17{\frac {3}{21}}^{\circ }\approx 17.14286^{\circ }}$. Jeden vnitřní úhel vypočítáme odečtením vnějšího úhlu od 180°, bude se tedy rovnat ${\displaystyle 180^{\circ }-17{\frac {3}{21}}^{\circ }=162{\frac {18}{21}}^{\circ }\approx 162,85714^{\circ }}$.

Máme-li délku strany α, pak se následující veličiny vypočítají podle vzorce:

• Obvod: ${\displaystyle P=19\,a}$
• Obsah: ${\displaystyle A={\frac {21}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{21}}\right)}$
• Min poloměr: ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{21}}\right)}$
• Max. poloměr: ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{21}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{21}}\right)}}}$

Rýsování

Pravidelný jednadvacetiúhelník je z teoretického hlediska nemožné narýsovat Euklidovskou konstrukcí (tj. pouze za použití pravítka a kružítka), neboť aby bylo daný n-úhelník možno zkonstruovat tímto způsobem, musely by všechny jeho liché dělitele být Fermatova čísla (21 je dělitelné sedmi - to není Fermatovo číslo). Existují ale způsoby, jak útvar sestrojit s menší či větší odchylkou úhlů. Zde je jeden z nich:

1. Narýsujeme přímku p.
2. Na přímce p si označíme bod A.
3. Vedle bodu A zakreslíme bod B.
4. Do kružítka vezeme vzdálenost mezi body A a B a narýsujeme ji třináctkrát za sebou - výsledkem bude úsečka AC.
5. Vytvoříme kolmici na přímku p v bodě C s názvem q.
6. Z bodu C narýsujeme po kolmici q čtyřikrát za sebou přímku AB až do bodu D.
7. Narýsujeme kružnici k se středem v bodě A, jež protíná bod D.
8. Vezmeme do kružítka vzdálenost bodu D a C a po obvodu kružnice k si uděláme značky, jež následně propojíme.^[2]

Reference