Kvartická rovnice

Kvartická rovnice je algebraická rovnice čtvrtého stupně o jedné neznámé. Lze ji vyjádřit v obecném tvaru

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,

kde $a\neq 0$ .

U kvartických rovnic se používá následující terminologie:

$ax^{4}$ – kvartický člen
$bx^{3}$ – kubický člen
$cx^{2}$ – kvadratický člen
$dx$ – lineární člen
$e$ – absolutní člen

Bikvadratická rovnice

Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar

ax^{4}+bx^{2}+c=0\,

Řešení bikvadratické rovnice

Bikvadratickou rovnici lze řešit pomocí substituce $z=x^{2}$ , čímž vznikne kvadratická rovnice

az^{2}+bz+c=0\,

Řešení této kvadratické rovnice lze vyjádřit ve tvaru

z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,

Toto řešení použijeme pro získání hodnot $x$ , které jsou řešením původní bikvadratické rovnice, přičemž platí

x_{1,2}=\pm {\sqrt {z_{1}}}

x_{3,4}=\pm {\sqrt {z_{2}}}

Obecné řešení kvartické rovnice

Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná algebraicky ("v radikálech", tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Lodovico Ferrari v polovině 16. století, veden svým učitelem Girolamem Cardanem. Dnes existuje více metod řešení, např. následující postup Reného Descarta.

1. Obecnou kvartickou rovnici

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ .

Normujeme, tj. vydělíme rovnici vedoucím koeficientem $a\neq 0$ a získáme rovnici s vedoucím koeficientem 1:

$x^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0$

2. Zbavíme se kubického členu substitucí (posunutí proměnné)

$x=y-{\frac {B}{4}}$

a rovnice získá tzv. redukovaný tvar:

$y^{4}+py^{2}+qy+r=0\qquad \qquad (1)$

3. Rozložíme čtyřčlen na dva (normované) kvadratické trojčleny. Označme koeficienty $K$ , $L$ , $M$ , $N$ . Má tedy platit:

$y^{4}+Py^{2}+Qy+R=(y^{2}+Ky+L)(y^{2}+My+N)$ .

Aby rovnost mnohočlenů platila, musí mít stejné koeficienty, což zjistíme roznásobením:

$K+M=0$ .

$KM+L+N=p$

$KN+LM=q$

$LN=r$

4. První nejjednodušší lineární rovnice $M=-K$ je důsledkem požadavku na vymizení kubického členu. Dosadíme za $M$ do následujících rovnic

$-K^{2}+L+N=p$ ,

$KN-KL=q$ ,

$LN=r$ .

5. První dva z těchto vztahů ještě upravíme, aby vlevo zůstaly jen neznámé $L,N$ :

$L+N=p+K^{2},$

$L-N=-{\frac {q}{K}},$

$LN=r$ .

6. Následuje nejsložitější obrat. Zaměříme se nyní na neznámé $L,N$ . Pro součet, rozdíl a součin dvou libovolných čísel $X,Y$ platí vztah

$(X+Y)^{2}-(X-Y)^{2}=4XY$ ,

který použijeme na neznámé $L$ a $N$ v rovnicích 5. kroku:

$(p+K^{2})^{2}-(-{\frac {q}{K}})^{2}=4r.$

7. Rovnici pro jedinou neznámou $K$ snadno upravíme:

$K^{6}+2pK^{4}+K^{2}(p^{2}-4r)-q^{2}=0$

8. Rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé $K$ . Substitucí $s=K^{2}$ získáme kubickou rovnici, tzv. kubickou resolventu

$s^{3}+2ps^{2}+(p^{2}-4r)s-q^{2}=0$ ,

kterou vyřešíme.

9. Zjistili jsme neznámou $s$ a tedy i $K$ . Po dosazení číselné hodnoty $K$ do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty $L$ , $N$ . Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů

$(y^{2}+Ky+L)(y^{2}-Ky+N)=0$ .

10. Kořeny $y_{1,2}$ získáme vyřešením kvadratické rovnice $y^{2}+Ky+L=0$ , zatímco kořeny $y_{3,4}$ vyřešením kvadratické rovnice $y^{2}-Ky+N=0$ .

11. Známe-li kořeny $y_{1,2,3,4}$ , pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice $x_{1,2,3,4}$ .

Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.

Např. rovnici $x^{4}+6x^{3}-x-6=0$ lze snadno rozložit na $(x+6)(x^{3}-1)=0$ , popř. ještě dál na: $(x+6)(x-1)(x^{2}+x+1)=0$ , a tak uhodnout z hlavy kořeny $x_{1}=-6$ , $x_{2}=1$ .