Legendrovy polynomy

Legendrovy polynomy ${\displaystyle P_{n}(x),\,n=0,1,2,...}$ jsou polynomy reálné proměnné ${\displaystyle x}$ definované na intervalu ${\displaystyle \langle -1,1\rangle }$, které popsal Adrien-Marie Legendre roku 1782. Přitom ${\displaystyle P_{n}(x)}$ je polynom stupně ${\displaystyle n}$. Legendrovy polynomy se používají především v matematické fyzice a lze je definovat několika různými vzájemně ekvivalentními způsoby. Jedním z nich je požadovat, aby

1. pro ${\displaystyle n\neq m}$ platilo ${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0}$ (podmínka vzájemné ortogonality Legendrových polynomů);
2. pro každé ${\displaystyle n=0,1,2,...}$ platilo ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$ (normující podmínka).

Legendrovy polynomy jsou zvláštním případem Gegenbauerových polynomů, které zase jsou zvláštním případem Jacobiho polynomů, jednoho z klasických polynomiálních systémů matematiky. Legendrovy polynomy sudého stupně jsou sudé funkce a Legendrovy polynomy lichého stupně jsou liché funkce.

Prvních několik Legendrových polynomů je:

${\displaystyle P_{0}(x)=1}$

${\displaystyle P_{1}(x)=x}$

${\displaystyle P_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)}$

${\displaystyle P_{3}(x)={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)}$

${\displaystyle P_{4}(x)={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}$

${\displaystyle P_{5}(x)={\tfrac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}$

Vlastnosti

Rodriguesova formule a její důsledky

Pro Legendrovy polynomy platí Rodriguesova formule (1818)

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,,}$

jež umožňuje odvodit další vzorce, vyjadřující tyto polynomy explicitně, například

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\end{aligned}}}$

Generující funkce a rekurentní vztah

Legendre své polynomy původně definoval pomocí generující funkce, tedy jako koeficienty Taylorova rozkladu:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.}$

Derivováním této rovnice podle ${\displaystyle t}$ a algebraickými úpravami lze odvodit Bonnetovu rekurzivní formuli

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}$

Legendre své polynomy objevil v souvislosti se studiem Newtonova potenciálu^[1] (gravitační potenciál hmotného bodu nebo Coulombův potenciál bodového náboje), který lze rozložit na sumu těchto polynomů:

${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{R'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}$

kde r a r′ jsou délky vektorů x a x′ a γ je úhel mezi těmito vektory. Vyjádření může být užitečné například integrujeme-li potenciál přes spojitou distribuci hmoty nebo náboje.

Legendrova diferenciální rovnice a úplnost

Legendrovy polynomy jsou řešeními diferenciální rovnice, pojmenované rovněž po Legendrovi:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {dP_{n}(x)}{dx}}\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0\,.}$

Z toho plyne, že tyto polynomy jsou vlastními vektory odpovídajícího diferenciálního operátoru:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,}$

z čehož lze dále podle Sturmovy–Liouvilleovy teorie odvodit, že jde o úplný a ortogonální systém polynomů na definičním intervalu.

Jako úplný a ortogonální systém polynomů mají Legendrovy polynomy tyto vlastnosti:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}$

kde ${\displaystyle \delta _{mn}}$ je Kroneckerovo delta, rovné jedné, pokud ${\displaystyle m=n,}$ a nule jinak.

Máme-li po částech spojitou funkci ${\displaystyle f(x)}$ na intervalu ${\displaystyle \langle -1,1\rangle }$, tak suma

${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}$

konverguje v průměru k ${\displaystyle f(x)}$ pro ${\displaystyle n\to \infty }$, pokud vezmeme koeficienty jako

${\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}$

Reference

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Legendreovy polynomy na Wikimedia Commons