Leibnizovo pravidlo

Leibnizovo pravidlo je v matematice předpis, které udává, jak se důležitá třída operátorů chová vůči součinu.

Označíme-li A {\displaystyle {\mathcal {A}}} obecný operátor, pak splňuje-li Leibnizovo pravidlo, platí

A ( f g ) = ( A f ) g + f ( A g ) . {\displaystyle {\mathcal {A}}\left(fg\right)=\left({\mathcal {A}}f\right)g+f\left({\mathcal {A}}g\right).}

Toto pravidlo splňují např. derivace, tedy platí

( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ , {\displaystyle \left(fg\right)^{'}=f^{'}g+fg^{'},}

což mj. spolu s faktem, že násobení je komutativní, dává vzorec pro n-tou derivaci součinu.

( f g ) ( n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( k ) g ( n − k ) , {\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)},}

kde ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} jsou kombinační čísla.