Mocninná řada

Mocninná řada (jedné proměnné) v matematice je nekonečná řada tvaru

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}}$

${\displaystyle +a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }$

kde a_n je koeficient n-tého členu, c je konstanta a x se mění v blízkosti c (z tohoto důvodu můžeme říkat, že řady mají střed v bodě c). Tyto řady obvykle vznikají jako Taylorovy řady nějaké známé funkce.

V mnoha situacích je c rovno nule, například u Maclaurinovy řady. Mocninná řada pak má jednodušší tvar

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .}$

Tyto mocninné řady se nejdříve objevily v analýze, ale také se objevují v kombinatorice (pod jménem generující funkce) a v elektrotechnice (pod jménem Z-transformace). Obvyklý desítkový zápis reálných čísel může být také považována za příklad mocninné řady s celočíselnými koeficienty a s pevnou hodnotou argumentu x rovnou ${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$. Pojem p-adických čísel v teorii čísel také úzce souvisí s mocninnými řadami.

Příklady

Každý polynom lze vyjádřit jako mocninnou řadu s libovolným středem c, která má většinu koeficientů rovných nule. Například polynom ${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ může být zapsán jako mocninná řada o středu ${\displaystyle c=0}$ jako

${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,}$

nebo o středu ${\displaystyle c=1}$ jako

${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+}$

${\displaystyle 0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,}$

nebo o středu c. Mocninnou řadu můžeme považovat za polynom nekonečného stupně, i když mocninné řady obecně polynomy nejsou.

Vzorec pro geometrickou řadu

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$

který platí pro ${\displaystyle |x|<1}$, je jedním z nejdůležitějších příkladů mocninné řady, stejně jako řada pro exponenciální funkci

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

a vzorec pro funkci sinus

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$

platí pro všechna reálná x. Tyto mocninné řady jsou příkladem Taylorovy řady.

Záporné mocniny nejsou v mocninné řadě povoleny, například ${\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ se nepovažuje za mocninnou řadu (i když to je Laurentova řada). Podobně ani neceločíselné mocniny jako ${\displaystyle x^{1/2}}$ nejsou povoleny (jsou povoleny u Puiseuxových řad). Koeficienty ${\displaystyle a_{n}}$ nesmí záviset na ${\displaystyle x}$, takže například:

${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}$ mocninná řada není.

Poloměr konvergence

Mocninná řada konverguje pro některé hodnoty proměnné x a může divergovat pro ostatní hodnoty. Všechny mocninné řady f(x) s mocninami (x-c) konvergují v bodě x = c. (Správné hodnoty f(c) = a₀ vyžadují interpretaci výrazu 0⁰ jako rovnou 1.) Pokud c není jediný bod, kde řada konverguje, pak vždy existuje číslo r, 0 < r ≤ ∞ takové, že řada konverguje pro každé |x − c| < r a diverguje pro každé |x − c| > r. Číslo r se nazývá poloměr konvergence mocninné řady; obecně jej lze zapsat jako

${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$

nebo, ekvivalentně,

${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}$

(toto je Cauchyova–Hadamardova věta). Rychlý způsob, jak tento výraz spočítat je

${\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}$

pokud tato limita existuje.

Řady konverguje absolutně pro |x − c| < r a konverguje stejnoměrně na každé kompaktní podmnožině {x : |x − c| < r}. To jest, řada je absolutně a kompaktně konvergentní uvnitř disku konvergence.

Pro |x − c| = r, nelze obecně říct, zda řada konverguje nebo diverguje. Ale v případě reálných proměnných, Abelova věta říká, že suma řady je spojitá v bodě x, pokud řada konverguje v bodě x. V případě komplexní proměnné lze pouze prohlásit spojitost podél úsečky začínající v bodě c a končící v bodě x.

Operace na mocninných řadách

Sčítání a odčítání

Když jsou dvě funkce f a g rozloženy na mocninnou řadu se stejným středem c, mocninnou řadu součtu nebo rozdílu funkcí lze získat sčítáním nebo odčítáním po členech. Neboli pokud

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}$

pak

${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}$

Součin a podíl

Pomocí definice uvedené výše pro mocninnou řadu součinu a podílu funkcí platí:

${\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}$

Posloupnost ${\displaystyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ se nazývá konvoluce posloupností ${\displaystyle a_{n}}$ a ${\displaystyle b_{n}}$.

Pro dělení platí:

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$

${\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}$

a pak lze použít postup uvedený výše s porovnáváním koeficientů.

Derivace a integrace

Pokud je funkce zadaná jako mocninná řada, je derivovatelná uvnitř oboru konvergence. Řadu lze snadno derivovat a integrovat člen po členu:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}$

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}$

Obě tyto řady mají stejný poloměr konvergence jako původní.

Analytické funkce

Funkce f definované na nějaké otevřené podmnožině U množiny R nebo C se nazývá analytická, pokud je lokálně zadaná jako konvergentní mocninná řada. To znamená, že každé a ∈ U má otevřené okolí V ⊆ U, takové, že existuje mocninná řada o středu a, která konverguje k f(x) pro každé x ∈ V.

Každá mocninná řada s kladným poloměrem konvergence je analytická na uvnitř své oblasti konvergence. Všechny holomorfní funkce jsou komplexně analytické. Součty a násobky analytických funkce jsou analytické, stejně jako podíly, pokud je dělitel nenulový.

Pokud funkce je analytická, pak existují její derivace všech řádů, ale opak v reálném případě obecně neplatí. Koeficienty analytické funkce a_n lze vyjádřit jako

${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}$

kde ${\displaystyle f^{(n)}(c)}$ označuje n-tou derivaci f v bodě c a ${\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}$. To znamená, že každá analytická funkce je lokálně reprezentovaná svoji Taylorovou řadou.

Obecná forma analytické funkce je zcela určena svým lokálním chováním v následujícím smyslu: pokud f a g jsou dvě analytické funkce definované na stejné souvislé otevřené množině U, a pokud existuje prvek c∈U takový, že f ⁽ⁿ⁾(c) = g ⁽ⁿ⁾(c) pro všechna n ≥ 0, pak f(x) = g(x) pro všechna x ∈ U.

Pokud je zadaná mocninná řada s poloměrem konvergence r, můžeme uvažovat analytické pokračování řady, tj. analytické funkce f, které jsou definované na větších množinách než { x : |x − c| < r } a souhlasí se zadanou mocninnou řadou na této množiny. Číslo r je maximální v následujícím smyslu: vždy existuje komplexní číslo x s |x − c| = r takový, že žádné analytické pokračování řady nemůže být v bodě x.

Rozvoj mocninná řada inverzní funkce analytické funkce může být určena pomocí Lagrangeovy inverzní formule.

Formální mocninná řada

V abstraktní algebře, lze zachytit podstatu mocninných řad bez omezení na obor integrity reálných nebo komplexních čísel a bez potřeby uvažovat konvergenci. To vede k pojmu formální mocninné řady, který je velmi užitečný v algebraické kombinatorice.

Mocninné řady více proměnných

Rozšíření teorie je nutné pro diferenciální a integrální počet více proměnných. Mocninná řada je zde definované jako nekonečná řada tvaru

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},}$

kde j = (j₁, …, j_n) je vektor přirozených čísel, koeficienty a_(j1,...,jn) jsou obvykle reálná nebo komplexní čísla, a střed c = (c₁, …, c_n) a argument x = (x₁, …, x_n) jsou obvykle reálné nebo komplexní vektory. V obvyklejší multi-indexové notaci lze napsat

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.}$

Teorie takových řad je složitější než teorie řad jedné proměnné, se složitějšími oblastmi konvergence. Například mocninná řada ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ je absolutně konvergentní na ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}}$ mezi oběma hyperbolami. (Toto je příklad log-konvexní množiny v tom smyslu, že množina bodů ${\displaystyle (\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)}$, kde ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ leží v uvedené oblasti, je konvexní množina. Obecněji můžeme ukázat, že pokud c=0, uvnitř oblasti absolutní konvergence je vždy log-konvexní množina v tom to smyslu.) Na druhou stranu, uvnitř této oblasti konvergence můžeme derivovat a integrovat pod symbolem řady stejně jako v případě normální mocninné řady.

Řád mocninné řady

Nechť α je multi-index mocninné řady f(x₁, x₂, …, x_n). Řád mocninné řady f se definuje jako nejmenší hodnota |α| taková, že a_α ≠ 0, nebo 0 pokud f ≡ 0. Speciálně pro mocninnou řadu f(x) jedné proměnné x, řád f je nejmenší mocnina x s nenulovým koeficientem. Tuto definici lze jednoduše rozšířit na Laurentovy řady.

Reference

Power series Encyclopedia of Mathematics V tomto článku byl použit překlad textu z článku Power series na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu mocninná řada na Wikimedia Commons
• Mocninná řada v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Mocninná řada v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Complex Power Series Module by John H. Mathews
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.