Subdeterminant

V lineární algebře je subdeterminant nebo též minor matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ determinantem podmatice, která byla z matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ získána odstraněním některých řádků a sloupců. Počet řádků podmatice je řádem subdeterminantu. Subdeterminanty získané odstraněním právě jednoho řádku a jednoho sloupce ze čtvercové matice umožňují redukovat řád determinantu pomocí rozvoje podle řádku nebo sloupce. Prostřednictvím adjungované matice také souvisejí s inverzní maticí.

Definice

Pro matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ a ${\displaystyle 0\leq k\leq \min\{m,n\}}$ se subdeterminantem nebo minorem řádu ${\displaystyle k}$, nazývá determinant čtvercové matice řádu ${\displaystyle k}$ získané z matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ odebráním ${\displaystyle m-k}$ řádků a ${\displaystyle n-k}$ sloupců. Někdy se používá slovo „stupeň“ pro „řád“ subdeterminantu či minoru. Termín „minor“ se také nesprávně používá k označení čtvercové matice řádu ${\displaystyle k}$ získané uvedeným způsobem, ale tato matice by měla být označována jako (čtvercová) podmatice matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, přičemž výraz „minor“ by měl být užíván pouze pro determinant této matice.

Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ má celkem ${\displaystyle {\binom {m}{k}}\cdot {\binom {n}{k}}}$ subdeterminantů řádu ${\displaystyle k}$. Subdeterminant řádu nula je definován jako 1.

Operace odebrání formálně spočívá ve výběru posloupnosti indexů řádků ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m}$ a posloupnosti indexů sloupců ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}$. Tyto vybrané množiny indexů ${\displaystyle I=\{i_{1},\dots ,i_{k}\}}$ a ${\displaystyle J=\{j_{1},\dots ,j_{k}\}}$ se použijí k výpočtu determinantu podmatice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}[I\times J]}$, čili výrazu:

${\displaystyle \det({\boldsymbol {A}}[I\times J])={\begin{vmatrix}a_{i_{1},j_{1}}&a_{i_{1},j_{2}}&\dots &a_{i_{1},j_{k}}\\a_{i_{2},j_{1}}&a_{i_{2},j_{2}}&\dots &a_{i_{2},j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k},j_{1}}&a_{i_{k},j_{2}}&\dots &a_{i_{k},j_{k}}\end{vmatrix}}}$

Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ čtvercová matice řádu ${\displaystyle n}$, potom její první minor je každý subdeterminant řádu ${\displaystyle n-1}$, a jako takový vzniká odebráním jednoho řádku a sloupce. Podobně pro druhé a další minory. Za nultý minor čtvercové matice lze považovat její determinant.

První minor, který je determinantem podmatice vytvořené z čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ odstraněním ${\displaystyle i}$-tého řádku a ${\displaystyle j}$-tého sloupce se nazývá subdeterminant (minor) příslušný k prvku ${\displaystyle a_{ij}}$ matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Pokud ${\displaystyle I=J}$, čili pokud z matice bylo ponecháno ${\displaystyle k}$ řádků a sloupců se stejnými indexy, nazývá se odpovídající subdeterminant hlavním minorem stupně ${\displaystyle k}$ (platí i pro obdélníkové matice). Hlavní minor stupně ${\displaystyle k}$, vzniklý odebráním posledních ${\displaystyle m-k}$ řádků a ${\displaystyle n-k}$ sloupců, neboli daný množinami ${\displaystyle I=J=\{1,2,\dots ,k\},}$ se nazývá vedoucí hlavní minor řádu ${\displaystyle k}$. U čtvercových matic řádu ${\displaystyle n}$ se nazývá též ${\displaystyle (n-k)}$-tý vedoucí (hlavní) minor.

Někdy jsou vedoucí hlavní minory nazývány hlavními minory, zatímco první zmíněné nejsou nijak zvlášť pojmenovány.

Ukázka

U reálné matice

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&3&4&2\\0&3&1&1\\7&1&3&4\end{pmatrix}}}$

typu ${\displaystyle 3\times 4}$ vznikne odebráním druhého řádku a také druhého a třetího sloupce, neboli ponecháním prvků s řádkovými indexy z množiny ${\displaystyle I=\{1,3\}}$ a sloupcovými indexy z množiny ${\displaystyle J=\{1,4\}}$ subdeterminant hodnoty:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&\Box &\Box &2\\\Box &\Box &\Box &\Box \\7&\Box &\Box &4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2\\7&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 7=4-14=-10.}$

Tento minor není hlavní, protože ${\displaystyle I\neq J}$. Hlavní minor matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je například subdeterminant

${\displaystyle {\begin{vmatrix}3&1\\1&3\end{vmatrix}}=8}$

odvozený z množin ${\displaystyle I=J=\{2,3\}}$.

Vedoucí hlavní minory matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ jsou:

řádu 1: ${\displaystyle {\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}}=1,\quad }$ řádu 2: ${\displaystyle \quad {\begin{vmatrix}1&3\\0&3\end{vmatrix}}=3,\quad }$ řádu 3: ${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&3&4\\0&3&1\\7&1&3\end{vmatrix}}=-55.}$

Subdeterminant příslušný k prvku ${\displaystyle a_{23}}$ reálné čtvercové matice

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{pmatrix}}}$

je roven:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&4\\-1&9\\\end{vmatrix}}=9-(-4)=13}$

Použití subdeterminantů

Algebraický doplněk

Algebraickým doplňkem nebo také kofaktorem prvku ${\displaystyle a_{ij}}$ čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ nazýváme číslo

${\displaystyle {\tilde {a}}_{ij}={(-1)}^{i+j}{\det {\boldsymbol {A}}_{ij}}={\begin{vmatrix}a_{1,1}&\dots &a_{1,j-1}&0&a_{1,j+1}&\dots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{i-1,1}&\dots &a_{i-1,j-1}&0&a_{i-1,j+1}&\dots &a_{i-1,n}\\0&\dots &0&1&0&\dots &0\\a_{i+1,1}&\dots &a_{i+1,j-1}&0&a_{i+1,j+1}&\dots &a_{i+1,n}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\dots &a_{n,j-1}&0&a_{n,j+1}&\dots &a_{n,n}\end{vmatrix}}\;,}$

kde ${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}_{ij}}$ je subdeterminant příslušný k prvku ${\displaystyle a_{ij}}$ matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Transponovaná matice z algebraických doplňků se nazývá adjungovaná matice. Adjungovaná matice k regulární matici je ${\displaystyle |{\boldsymbol {A}}|}$-násobkem její inverzní matice.

Laplaceův rozvoj determinantu

Algebraický doplněk lze použít k výpočtu determinantu. Pro libovolný (pevně daný) řádkový index ${\displaystyle i}$ lze determinant matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ řádu ${\displaystyle n}$ vyjádřit pomocí součtu součinů všech prvků tohoto řádku a jejich algebraických doplňků:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\tilde {a}}_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{(-1)}^{i+j}\det {\boldsymbol {A}}_{ij}}$.

Tento vzorec se nazývá (Laplaceův) rozvoj (rozklad) determinantu podle ${\displaystyle i}$-tého řádku. Vzhledem k tomu, že se determinant nezmění transpozicí matice, lze jej vyjádřit teké rozvojem (rozkladem) podle ${\displaystyle j}$-tého sloupce:

${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\tilde {a}}_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{(-1)}^{i+j}\det {\boldsymbol {A}}_{ij}}$.

Pomocí těchto vzorců lze výpočet determinantu převést na výpočet několika subdeterminantů, jejichž řád je o jedna menší. Opakováním tohoto procesu lze dospět až k subdeterminantům prvního řádu, jejichž hodnota je odpovídá jednotlivým prvkům matice. Uvedený postup vede na rekurentní algoritmus pro výpočet determinantu. Navzdory jednoduché implementaci roste jeho výpočetní složitost exponenciálně rychle s řádem determinantu, proto je vhodnější determínant počítat např. Gaussovou eliminační metodou.

Rozvoj determinantu je možné zobecnit^[1] i na rozvoj podle víceprvkové množiny vybraných řádků s využitím všech možných subdeterminantů sestavených z těchto řádků.

Další aplikace

Každá reálná matice typu ${\displaystyle m\times n}$ hodnosti ${\displaystyle r}$ (platí i pro matice nad libovolným tělesem) má alespoň jeden nenulový subdeterminant řádu ${\displaystyle r}$, zatímco všechny subdeterminanty řádu alespoň ${\displaystyle r+1}$ jsou nulové.

U hermitovských matic mohou být vedoucí hlavní minory použity k testu pozitivní definitnosti podle Sylvesterova kritéria a hlavní minory mohou být podobně použity k testu pozitivní semidefinitnosti.

Jak vzorec pro obyčejný součin matic, tak i Cauchyho–Binetův vzorec pro determinant součinu matic jsou speciálními případy následujícího obecného tvrzení o subdeterminantech součinu matic. Jsou-li matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$, matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ typu ${\displaystyle n\times p}$ a jsou-li ${\displaystyle I}$ a ${\displaystyle J}$ dvě ${\displaystyle k}$-prvkové podmnožiny množin${\displaystyle \{1,\dots ,m\}}$ a ${\displaystyle \{1,\dots ,p\}}$, potom platí:

${\displaystyle ({\boldsymbol {AB}})[I\times J]=\sum _{K}\mathbf {A} [I\times K]\cdot \mathbf {B} [K\times J]\,}$,

kde součet prochází přes všechny ${\displaystyle k}$-prvkové podmnožiny ${\displaystyle K}$ množiny ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$. Uvedený vztah je přímým rozšířením Cauchyho–Binetova vzorce.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Minor (linear algebra) na anglické Wikipedii, Minor (Lineare Algebra) na německé Wikipedii a Minor na polské Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Adjungovaná matice
• Determinant
• Inverzní matice
• Podmatice