Trojúhelníková matice

Trojúhelníková matice je v matematice speciální druh čtvercové matice. Horní trojúhelníková matice má všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule. Podobně dolní trojúhelníková matice má všechny prvky nad hlavní diagonálou nulové.

Maticové rovnice s trojúhelníkovými maticemi jsou snadněji řešitelné, a proto jsou trojúhelníkové matice důležité zejména v numerické matematice. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí LU rozkladu je založeno na rozkladu matice na součin dolní trojúhelníkové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ a horní trojúhelníkové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$. Regulární matice má LU rozklad, právě když má všechny vedoucí hlavní subdeterminanty nenulové.

Definice

Horní trojúhelníková matice řádu ${\displaystyle n}$ je matice tvaru:

${\displaystyle {\boldsymbol {U}}={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}&\ldots &u_{1n}\\0&u_{22}&u_{23}&\ldots &u_{2n}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &u_{n-1,n}\\0&0&0&0&u_{nn}\end{pmatrix}}}$

Formálně prvky horní trojúhelníkové matice splňují: ${\displaystyle u_{ij}=0}$ pro ${\displaystyle i>j}$.

Dolní trojúhelníková matice je matice tvaru:

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\begin{pmatrix}l_{11}&0&0&0&0\\l_{21}&l_{22}&0&0&0\\l_{31}&l_{32}&\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\l_{n1}&l_{n2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{nn}\end{pmatrix}}}$

Formálně prvky dolní trojúhelníkové matice splňují: ${\displaystyle l_{ij}=0}$ pro ${\displaystyle i<j}$.

Speciálním případem je diagonální matice, která je horní i dolní trojúhelníkovou maticí zároveň.

Horní trojúhelníkové matice se v literatuře obvykle značí ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ z angl. upper, případně ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ - right, zatímco pro dolní trojúhelníkové se používá symbol ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ - lower, resp. left.

Striktně horní a striktně dolní trojúhelníkové matice

Hodnoty prvků na hlavní diagonále nejsou u trojúhelníkových matic nijak omezeny. Jsou-li všechny prvky na hlavní diagonále trojúhelníkové matice rovny nule, jde o striktně horní, resp. striktně dolní trojúhelníkovou matici. Striktně horní i striktně dolní trojúhelníkové matice patří mezi nilpotentní matice.

Ukázky

Matice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2&3&4\\0&5&5&6\\0&0&0&7\\0&0&0&9\end{pmatrix}}}$

je horní trojúhelníková, zatímco

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\\\end{pmatrix}}}$

je dolní trojúhelníková.

Matice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\-5&0\\\end{pmatrix}}}$

je striktně dolní trojúhelníková.

Dopředná a zpětná substituce

Soustavy lineárních rovnic ve tvaru ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}$ jsou řešitelné dopřednou substitucí pro dolní trojúhelníkové matice s nenulovou diagonálou a analogicky zpětnou substitucí pro horní trojúhelníkové matice. Název odpovídá postupu, kdy pro dolní trojúhelníkové matice se z první rovnice soustavy nejprve určí ${\displaystyle x_{1}}$, to se pak dosadí do následující rovnice, aby bylo možné určit ${\displaystyle x_{2}}$, a tento postup se opakuje až pro ${\displaystyle x_{n}}$. U horní trojúhelníkové matici se postupuje obráceně, nejprve se z poslední rovnice soustavy určí ${\displaystyle x_{n}}$, to se pak dosadí do předchozí rovnice, z níž se určí ${\displaystyle x_{n-1}}$, atd. až se dojde k ${\displaystyle x_{1}}$.

Ani v jednom z uvedených postupů není třeba invertovat matici soustavy.

Dopředná substituce

Maticová rovnice ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}$ s dolní trojúhelníkovou maticí ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ s nenulovými prvky na diagonále odpovídá následující soustavě lineárních rovnic:

${\displaystyle {\begin{matrix}l_{11}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\l_{21}x_{1}&+&l_{22}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\l_{n1}x_{1}&+&l_{n2}x_{2}&+&\cdots &+&l_{nn}x_{n}&=&b_{n}\\\end{matrix}}}$

První rovnice ${\displaystyle l_{11}x_{1}=b_{1}}$ obsahuje jedinou neznámou ${\displaystyle x_{1}}$, a tak z ní lze přímo určit první složku řešení ${\displaystyle x_{1}}$. Druhá rovnice se týká jen neznámých ${\displaystyle x_{1}}$ a ${\displaystyle x_{2}}$, a proto ji lze jednoznačně vyřešit, jakmile se do ${\displaystyle x_{1}}$ dosadí hodnota získaná z první rovnice. Obecně, ${\displaystyle j}$-tá rovnice obsahuje pouze neznámé ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{j}}$, a proto z ní lze určit ${\displaystyle x_{j}}$ pomocí již dříve získaných hodnot neznámých ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{j-1}}$. Postupu odpovídají následující vzorce pro výpočet řešení:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{l_{11}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-l_{21}x_{1}}{l_{22}}},\dots \\x_{j}&={\frac {b_{j}-\sum \limits _{i=1}^{j-1}l_{ji}x_{i}}{l_{jj}}},\dots \\x_{n}&={\frac {b_{n}-\sum \limits _{i=1}^{n-1}l_{ni}x_{i}}{l_{nn}}}.\end{aligned}}}$

Maticovou rovnici s horní trojúhelníkovou maticí ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ lze vyřešit podobně, pouze v obráceném pořadí rovnic i neznámých.

Aplikace

Dopředná substituce se používá v ekonometrii ke konstrukci výnosové křivky.

Další vlastnosti

• Matice je dolní trojúhelníková, právě když její transpozice je horní trojúhelníková matice.
• Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu.
• Součin dvou striktně trojúhelníkových matic stejného typu je striktně trojúhelníková matice téhož typu.
• Trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále je regulární a matice k ní inverzní je trojúhelníková matice stejného typu.
• Pro trojúhelníkovou matici platí, že její determinant i permanent jsou rovny součinu prvků na hlavní diagonále.
• Vlastní čísla trojúhelníkové matice jsou prvky na hlavní diagonále. Počet výskytů vlastního čísla na diagonále je jeho algebraická násobnost, čili jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu ${\displaystyle p_{\boldsymbol {A}}(x)=\det({\boldsymbol {A}}-x\mathbf {I} )}$ matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Jinými slovy, charakteristický polynom trojúhelníkové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ řádu ${\displaystyle n}$ je roven

${\displaystyle p_{\boldsymbol {A}}(x)=(a_{11}-x)(a_{22}-x)\cdots (a_{nn}-x)}$,

což je polynom stupně ${\displaystyle n}$, jehož kořeny jsou prvky na diagonále matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ (včetně násobností). Uvedený vztah vyplývá ze skutečnosti, že ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}-x\mathbf {I} }$ je také trojúhelníková matice a tudíž její determinant ${\displaystyle \det({\boldsymbol {A}}-x\mathbf {I} )}$ je součinem prvků na její diagonále, což jsou právě ${\displaystyle a_{11}-x,a_{22}-x,\ldots ,a_{nn}-x}$.

Algebraické vlastnosti

• Množina všech horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou Lieovu algebru. Množina všech nilpotentních horních trojúhelníkových matic tvoří nilpotentní Lieovu algebru .
• Množina všech regulárních horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou grupu. Množina všech unipotentních horních trojúhelníkových matic, což jsou horní trojúhelníkové matice s 1 na diagonále, tvoří nilpotentní grupu.
• Trojúhelníková matice řádu ${\displaystyle n}$ může mít nejvýše ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ nenulových prvků, což je také dimenze odpovídající Lieovy grupy, resp. algebraické grupy.

Stejné vlastnosti mají i dolní trojúhelníkové matice.

Aplikace

Pro své speciální vlastnosti se trojúhelníkové matice používají v různých oblastech matematiky, zejména v numerické matematice. V následujících tvrzeních jsou uvažovány matice nad tělesem komplexních čísel ${\displaystyle \mathbb {C} }$:

• Gaussova eliminace provedená na regulární matrici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ odpovídá výpočtu vhodné permutační matice ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ a LU rozkladu ${\displaystyle {\boldsymbol {PA}}={\boldsymbol {LU}}}$, kde ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ je dolní trojúhelníková matice s 1 na diagonále a ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ je horní trojúhelníková.
• QR rozklad ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {QR}}}$ matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ na součin unitární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ a horní trojúhelníkové matrici ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ lze vypočítat mimo jiné pomocí Householderových transformací, Givensových rotací nebo Gramovy–Schmidtovy ortogonalizace .
• V Jordanově normální formě je matice podobnostně převedena na téměř diagonální trojúhelníkový tvar.
• Při Schurově rozkladu je daná matice vyjádřena coby matice unitárně podobná vhodné trojúhelníkové matici. Schurův rozklad lze získat např. pomocí QR algoritmu.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Triangular matrix na anglické Wikipedii a Dreiecksmatrix na německé Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• ZDENĚK, Dostál; VÍT, Vondrák. Lineární algebra [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni, 2012-04-24 [cit. 2022-04-05]. Kapitola 7.2 Trojúhelníkové matice, s. 51. Dostupné online. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.