Cornish-Fisher-Methode

Mit der Cornish-Fisher-Methode (nach E. A. Cornish und Ronald Aylmer Fisher) kann das Quantil einer Verteilungsfunktion auf Basis der ersten vier Momente (Erwartungswert, Standardabweichung, Schiefe und Kurtosis) abgeschätzt werden.[1] Basis ist die Bestimmung eines Quantils einer Normalverteilung.[2] Im Falle einer Normalverteilung mit Erwartungswert E ( X ) {\displaystyle E(X)} können die Quantile der Verteilung dargestellt werden als

Q α ( X ) = F x − 1 ( α ) = E ( X ) + q α ⋅ σ ( X ) {\displaystyle Q_{\alpha }(X)=F_{x}^{-1}(\alpha )=E(X)+q_{\alpha }\cdot \sigma (X)} .

Hierbei ist der Faktor q α {\displaystyle q_{\alpha }} nur vom betrachteten Quantil α {\displaystyle \alpha } abhängig und entspricht dem Wert der invertierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung an der Stelle α {\displaystyle \alpha } .

Die Cornish-Fisher-Erweiterung berücksichtigt nun die Schiefe γ {\displaystyle \gamma } und die Wölbung δ {\displaystyle \delta } einer Verteilung, womit sich natürlich andere Quantile als bei der Normalverteilung ergeben, deren Schiefe 0 und Kurtosis 3 beträgt. Hierbei wird der Faktor q α {\displaystyle q_{\alpha }} angepasst mittels

z α = q α + 1 6 ( q α 2 − 1 ) ⋅ γ + 1 24 ( q α 3 − 3 q α ) ⋅ ε − 1 36 ( 2 q α 3 − 5 q α ) ⋅ γ 2 {\displaystyle z_{\alpha }=q_{\alpha }+{\frac {1}{6}}(q_{\alpha }^{2}-1)\cdot \gamma +{\frac {1}{24}}(q_{\alpha }^{3}-3q_{\alpha })\cdot \varepsilon -{\frac {1}{36}}(2q_{\alpha }^{3}-5q_{\alpha })\cdot \gamma ^{2}}

dabei bezeichnet ε = δ − 3 {\displaystyle \varepsilon =\delta -3} den Exzess, d. h. die über die Wölbung der Normalverteilung hinausgehende Wölbung (Überkurtosis).

(Cornish-Fisher-Abschätzung).[3]

Die Berechnung der Quantilsfunktion lautet damit

Q α ( X ) = E ( X ) + z α ⋅ σ ( X ) {\displaystyle Q_{\alpha }(X)=E(X)+z_{\alpha }\cdot \sigma (X)\,} .

Die Methode ermöglicht unter anderem eine bessere Abschätzung von quantilsbezogenen Risikomaßen, z. B. dem Value at Risk, wenn die Normalverteilungshypothese verletzt ist.[4]

Weblinks

  • Cornish, E. A.; Fisher, Ronald A. : Moments and cumulants in the Specification of Distributions PDF-Datei (engl.)

Einzelnachweise

  1. ↑ Preview: The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants bei jstor.org, abgerufen am 3. Mai 2022.
  2. ↑ Inefficiency and bias of modified value-at-risk and expected shortfall bei risk.net, abgerufen am 3. Mai 2022.
  3. ↑ The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants bei digital.library.adelaide.edu.au/, abgerufen am 3. Mai 2022.
  4. ↑ Moments and cumulants in the Specification of Distributions bei digital.library.adelaide.edu.au/, abgerufen am 3. Mai 2022.