Das Lemma von Lax-Milgram, auch Satz von Lax-Milgram, ist eine Aussage der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, die nach Peter Lax und Arthur Milgram benannt ist. Diese beiden Mathematiker bewiesen 1954 eine erste Version dieses Lemmas, welches die Aussage des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz auf stetige Sesquilinearformen verallgemeinert. Eine allgemeinere Version des Lemmas wurde von Ivo Babuška bewiesen, weshalb diese Aussage auch als Satz von Babuška–Lax–Milgram bekannt ist. Anwendung finden diese Aussagen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit ihrer Hilfe können Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen über Lösungen von partiellen Differentialgleichungen gemacht werden.
Voraussetzungen
Es sei
ein Hilbertraum über
und es sei
eine Sesquilinearform. Zudem gelte eine der folgenden, äquivalenten Bedingungen:
ist stetig - Es gibt eine Konstante
mit ![{\displaystyle |B(x,y)|\leq M\|x\|\|y\|,\quad \forall \,x,y\in H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ef76222e869c01b5eb26c3b1c22c6118c264f8)
ist stetig für alle
und
ist stetig für alle ![{\displaystyle y\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3b8cfbeab2ec976c41ccc1573c57ef839d6c07)
Aussage
Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann existiert genau ein stetiger, linearer Operator
, der die Gleichung
![{\displaystyle B(x,y)=\left\langle Tx,y\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53b675303c7c80746b7d5c5485ebcae574247026)
für alle
erfüllt. Ferner gilt: Die Norm von
ist durch
beschränkt.
Ist die Sesquilinearform
zudem koerzitiv (häufig auch als stark positiv oder elliptisch bezeichnet), d. h. gibt es
, so dass
![{\displaystyle B(x,x)\geq m\|x\|^{2},\quad \forall x\in H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c56091d9ec8d502e328be9af15e3174c5c22e19)
gilt, dann ist
invertierbar mit
.
Anwendung auf elliptische Differentialgleichungen
Zur Anwendung kommt das Lemma von Lax-Milgram in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Insbesondere lassen sich für lineare Differentialgleichungen Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung zeigen, falls obige Bedingungen erfüllt sind. Dies wird nun am Beispiel einer gleichmäßig elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung illustriert.
Sei
![{\displaystyle Pu:=-\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\partial _{j}u+h_{i}\right)+bu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5867d1d143944ef379d59839c40ef0a5ccaf11e1)
ein gleichmäßig elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Das heißt, es gilt
für
,
mit
und es existiert ein
, so dass das Hauptsymbol für alle
und alle
die Ungleichung
![{\displaystyle \sum _{i,j}^{n}a_{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq c_{0}|\xi |^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6ade4cff021a24d256bfc18bf19ce5a2d95f38)
erfüllt. Mit Hilfe des Lemmas von Lax-Milgram kann man nun zeigen, dass die schwache Formulierung des Dirichlet-Randproblems
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{cc}Pu=f&{\text{in}}\ \Omega \\u=g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2210ce0dabe3a04d70bb6a2859b2461fa53474ca)
genau eine Lösung im Sobolev-Raum
für
und
besitzt. Das heißt, man betrachtet für alle Testfunktionen
die Gleichung
![{\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\phi (x)\mathrm {d} x=\int _{\Omega }-\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\partial _{j}u(x)+h_{i}(x)\right)\phi (x)+b(x)u(x)\phi (x)\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50249025cdf4ac24a567c16150de4c7a9161cb7c)
Partielle Integration der rechten Seite der Gleichung liefert
![{\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\phi (x)\mathrm {d} x=\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\phi (x)\cdot \left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\partial _{j}u(x)+h_{i}(x)\right)\mathrm {d} x+\int _{\Omega }b(x)u(x)\phi (x)\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d548a00994040285f48ba8994c2bbcb574e083b)
Setzt man nun
![{\displaystyle a(u,v):=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\int _{\Omega }\partial _{i}u(x)\cdot a_{ij}(x)\partial _{j}v(x)\mathrm {d} x+\int _{\Omega }u(x)b(x)v(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde80541a4e52f5d2df23a11eda68fc717fc4a85)
so erhält man eine reellwertige Bilinearform, deren Stetigkeit man mit Hilfe der Hölder-Ungleichung zeigen kann. Die Form
ist auch koerzitiv, was aus der Bedingung
folgt. Daher erfüllt die Bilinearform
die Voraussetzungen des Lemmas von Lax-Milgram. Man sucht nun also eine Lösung der Gleichung
![{\displaystyle a(u,v)=F(v),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac1d16ff6cbdf02a2b7744e962fbf0690ccdd3d)
wobei
![{\displaystyle F(v):=-\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}v(x)h_{i}(x)+v(x)f(x)\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d9cd1e45218febf9362461d5e311344bd8884a)
Da der Ausdruck
linear und stetig ist, also ein Element des Dualraums
ist, kann man den Darstellungssatz von Fréchet-Riesz anwenden und erhält genau ein
, so dass
für alle
gilt. Und aufgrund des Lemmas von Lax-Milgram hat die Gleichung
![{\displaystyle a(v,u)=\langle v,q\rangle _{H^{1}(\Omega )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfac528a8fbcb972efeb6c96535123233a4c0307)
für alle
genau eine Lösung
.
Auf ähnliche Weise kann man auch die Existenz und Eindeutigkeit bei Neumann-Randbedingungen zeigen.
Satz von Babuška–Lax–Milgram
Eine Verallgemeinerung des Lemmas von Lax-Milgram ist der Satz von Babuška–Lax–Milgram. Diese wurde 1971 von Ivo Babuška bewiesen.
Seien
und
zwei Hilberträume und sei
eine stetige Bilinearform. Sei außerdem
schwach koerzitiv, das heißt, es existiert ein
, so dass
![{\displaystyle \forall u\in U:\quad \sup _{\|v\|\leq 1}|B(u,v)|\geq c\|u\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67b44b26e8393a2e06e4823954cc2a0dc82bb08)
und
![{\displaystyle \forall v\in V\setminus \{0\}:\quad \sup _{u\in U}|B(u,v)|>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b315decbc9edbdcb9b8951f7e8aa328d684b6ecd)
gilt. Dann existiert genau ein stetiger, linearer Operator
, der die Gleichung
![{\displaystyle B(u,v)=\langle Tu,v\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f708ac2cb9ac07c4e478cec854e55450e200929)
für alle
und
erfüllt und für die Operatornorm gilt die Ungleichung
. Mit anderen Worten existiert genau eine Lösung
für Gleichungen
.
Literatur
- Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2006, ISBN 978-3-540-34186-4.
- I. Roşca: Lax–Milgram lemma. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id
- I. Roşca: Babuška–Lax–Milgram theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id
Weblinks
- François Clément, Vincent Martin: The Lax–Milgram Theorem. A detailed proof to be formalized in Coq. (pdf) Juli 2016; abgerufen am 14. Januar 2022 (englisch).