Schwarzschild-Tangherlini-Metrik

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die höherdimensionale Verallgemeinerung der Schwarzschild-Metrik als Schwarzschild-Tangherlini-Metrik (nach Karl Schwarzschild, Frank R. Tangherlini) bezeichnet. Die allgemeine Form des Linienelements (in Weinbergs Vorzeichenkonvention) ist

d s 2 = − [ 1 − ( a r ) d − 3 ] d t 2 + [ 1 − ( a r ) d − 3 ] − 1 d r 2 + r 2 d Ω d − 2 2 , {\displaystyle ds^{2}=-{\Big [}1-{\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}^{d-3}{\Big ]}dt^{2}+{\Big [}1-{\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}^{d-3}{\Big ]}^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{d-2}^{2},}

wobei c = 1 {\displaystyle c=1} gesetzt wurde und d {\displaystyle d} die Anzahl der Dimensionen der Raumzeit bezeichnet. In der „gewöhnlichen“ Raumzeit wäre also d = 4 {\displaystyle d=4} . Mit d Ω d − 2 2 {\displaystyle d\Omega _{d-2}^{2}} wird die Standardmetrik auf der d − 2 {\displaystyle d-2} -dimensionalen Einheitssphäre S d − 2 {\displaystyle S^{d-2}} bezeichnet, die induktiv definiert ist durch

d Ω 1 2 = d φ 2 , d Ω i + 1 2 = d θ i 2 + sin 2 ⁡ θ i d Ω i 2 ( i ≥ 1 ) , {\displaystyle d\Omega _{1}^{2}=d\varphi ^{2},\quad d\Omega _{i+1}^{2}=d\theta _{i}^{2}+\sin ^{2}\theta _{i}d\Omega _{i}^{2}\;(i\geq 1),}

wobei die Koordinate φ {\displaystyle \varphi } Werte zwischen 0 {\displaystyle 0} und 2 π {\displaystyle 2\pi } annimmt, während die Koordinaten θ i {\displaystyle \theta _{i}} Werte zwischen 0 {\displaystyle 0} und π {\displaystyle \pi } annehmen. Für d = 6 {\displaystyle d=6} ergibt sich beispielsweise

d Ω 4 2 = d θ 3 2 + sin 2 ⁡ θ 3 d θ 2 2 + sin 2 ⁡ θ 3 sin 2 ⁡ θ 2 d θ 1 2 + sin 2 ⁡ θ 3 sin 2 ⁡ θ 2 sin 2 ⁡ θ 1 d φ 2 . {\displaystyle d\Omega _{4}^{2}=d\theta _{3}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}d\theta _{2}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}\sin ^{2}\theta _{2}d\theta _{1}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}\sin ^{2}\theta _{2}\sin ^{2}\theta _{1}d\varphi ^{2}.}

Für d ≥ 5 {\displaystyle d\geq 5} ergibt sich das interessante Ergebnis, dass in dieser Metrik keine stabilen, gebundenen Bahnen massiver Teilchen existieren, die für d = 4 {\displaystyle d=4} durchaus existieren. Dies sieht man ein, indem man die Bewegung in der Äquatorialebene θ 1 = θ 2 = … = π 2 {\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=\ldots ={\frac {\pi }{2}}} betrachtet und die Koordinate u ( φ ) = a r {\displaystyle u(\varphi )={\frac {a}{r}}} einführt. Aus der Lagrange-Dichte ergibt sich durch Einführung der Erhaltungsgrößen E {\displaystyle E} („Energie“) und l {\displaystyle l} („Drehimpuls“) die Gleichung

1 2 ( d u d φ ) 2 + 1 2 u 2 − 1 2 u d − 1 − a 2 l 2 u d − 3 = a 2 l 2 ( E − 1 ) , {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}u^{2}-{\frac {1}{2}}u^{d-1}-{\frac {a^{2}}{l^{2}}}u^{d-3}={\frac {a^{2}}{l^{2}}}(E-1),}

wobei die letzten drei Terme auf der linken Seite ein effektives Potential darstellen. Skizziert man den Verlauf über u {\displaystyle u} , so erkennt man sofort, dass für d ≥ 5 {\displaystyle d\geq 5} maximal ein bzw. genau ein ( d ≥ 6 {\displaystyle d\geq 6} ) Extremalpunkt existiert. Somit ist jede Teilchenbahn entweder unbeschränkt oder führt in die Singularität bei u = ∞ {\displaystyle u=\infty } .

Literatur

  • Tangherlini, F.R., „Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem“, Nuovo Cim.27: 636-651 (1963)