Topologische K-Theorie

In der Mathematik, speziell in der algebraischen Topologie, beschäftigt sich die Topologische K-Theorie mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen. Der Name K-Theorie wurde von Alexander Grothendieck kreiert; das K steht für „Klasse“ in einem sehr allgemeinen Sinn.

Es sei ${\displaystyle X}$ ein fester kompakter Hausdorffraum.

Dann ist ${\displaystyle K(X)}$ der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen der stabil äquivalenten komplexen Vektorbündeln über ${\displaystyle X}$ nach der Untergruppe, die von Elementen der Form

${\displaystyle [E\oplus F]-[E]-[F]}$

für beliebige komplexe Vektorbündel ${\displaystyle E,F}$ über ${\displaystyle X}$ erzeugt wird. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \oplus }$ die Whitney-Summe der Vektorbündel. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen nachempfunden ist, heißt Grothendieck-Gruppe (nach Alexander Grothendieck). Man kann sich Elemente von ${\displaystyle K(X)}$ also als formale Summen und Differenzen von (Isomorphieklassen von) komplexen Vektorbündeln denken.

Betrachtet man stattdessen reelle Vektorbündel, erhält man die reelle ${\displaystyle K}$-Theorie ${\displaystyle KO(X)}$. Zur besseren Abgrenzung nennt man die K-Theorie der komplexen Vektorbündel auch komplexe K-Theorie.

Zwei Vektorbündel ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ auf ${\displaystyle X}$ definieren genau dann dasselbe Element in ${\displaystyle K(X)}$, wenn sie stabil äquivalent sind, d. h. wenn es ein triviales Vektorbündel ${\displaystyle G}$ gibt, so dass

${\displaystyle E\oplus G\cong F\oplus G}$

Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird ${\displaystyle K(X)}$ zu einem kommutativen Ring mit Einselement.

Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der ${\displaystyle K}$-Theorie. Die reduzierte K-Theorie ${\displaystyle {\tilde {K}}(X)}$ ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung ${\displaystyle {\tilde {K}}^{n}(X)={\tilde {K}}(S^{n}X)}$ ein; dabei bezeichnet ${\displaystyle S}$ die reduzierte Einhängung.

• ${\displaystyle K}$ ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffräume.
• Es gibt einen topologischen Raum ${\displaystyle BU}$, so dass Elemente von ${\displaystyle K(X)}$ den Homotopieklassen von Abbildungen ${\displaystyle X\to BU}$ entsprechen.
• Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus ${\displaystyle K(X)\to H^{*}(X,Q)}$, den Chern-Charakter.

Dieses nach Raoul Bott benannte Periodizitätsphänomen lässt sich auf die folgenden äquivalenten Arten formulieren:

• ${\displaystyle K(X\times S^{2})=K(X)\otimes K(S^{2}),}$ und ${\displaystyle K(S^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2};}$ dabei ist ${\displaystyle H}$ die Klasse des tautologischen Bündels über ${\displaystyle S^{2}=\mathbb {C} P^{1}}$.
• ${\displaystyle {\tilde {K}}^{n+2}(X)={\tilde {K}}^{n}(X)}$
• ${\displaystyle \Omega ^{2}\mathrm {BU} \simeq \mathrm {BU} \times \mathbf {Z} }$.

In der reellen K-Theorie gibt es eine ähnliche Periodizität mit Periode 8.

Die (komplexe oder reelle) topologische K-Theorie ist eine verallgemeinerte Kohomologietheorie und kann oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden.^[1]

Die topologische K-Theorie lässt sich auf allgemeine Banachalgebren ausdehnen, wobei die C*-Algebren eine wichtige Rolle spielen. Die topologische K-Theorie kompakter Räume ${\displaystyle X}$ kann als K-Theorie der Banachalgebren ${\displaystyle C(X)}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {C} }$ umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren übertragen werden, sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten. Da die Zuordnung ${\displaystyle X\mapsto C(X)}$ ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K-Theorie ebenfalls kontravariant ist, erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.^[2]

Da hier auch nicht-kommutative Algebren auftreten können, spricht man von nicht-kommutativer Topologie. Die K-Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C*-Algebren.

Algebraische K-Theorie

• Michael Atiyah: K -theory. Notes by D. W. Anderson. Second edition. Advanced Book Classics. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989. ISBN 0-201-09394-4
• Allen Hatcher: Vector bundles and K-theory (math.cornell.edu).
• Karlheinz Knapp: Vektorbündel. (link.springer.com).

• Max Karoubi: Lectures on K-theory. (PDF; 400 kB).

1. ↑ Atiyah, Hirzebruch: Vector bundles and homogeneous spaces. In: Proc. Sympos. Pure Math. Band III. American Mathematical Society, Providence, R.I. 1961, S. 7–38.
2. ↑ Blackadar: K-Theory for Operator Algebras. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-96391-X.