Weil-Restriktion

Die Weil-Restriktion (auch Weils Restriktion der Skalare) bezeichnet in der algebraischen Geometrie ein ${\displaystyle S}$-Schema, welches aus einem ${\displaystyle S'}$-Schema und einem Morphismus von Schemata ${\displaystyle S'\to S}$ entstand.

Häufig interessiert man sich für den Fall, wenn ${\displaystyle S'\to S}$ eine endliche Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$ ist. Die Weil-Restriktion ist verwandt mit dem Konzept Restriktion der Skalare und nach André Weil benannt.

Fixiere ein Schema ${\displaystyle S}$, ein Schema ${\displaystyle X}$ ausgestattet mit einem Morphismus ${\displaystyle f:X\to S}$ nennt man ein ${\displaystyle S}$-Schema. Alle Schemata über einem fixierten Schema ${\displaystyle S}$ bilden die Kategorie ${\displaystyle \mathbf {Sch/S} }$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine Kategorie, dann bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ ihre duale Kategorie.

Sei ${\displaystyle h:S'\to S}$ ein Morphismus von Schemata. Für ein ${\displaystyle S'}$-Schema ${\displaystyle X}$ betrachte den kontravarianten Funktor

${\displaystyle \operatorname {Res} _{S'/S}(X):\mathbf {Sch/S} ^{op}\to \mathbf {Set} ,\quad T\mapsto \operatorname {Hom} _{S'}(T\times _{S}S',X).}$

Falls der Funktor darstellbar ist, dann heißt das dazugehörige ${\displaystyle S}$-Schema, welches auch mit ${\displaystyle \operatorname {Res} _{S'/S}(X)}$ notiert wird, die Weil-Restriktion von ${\displaystyle X}$ bezüglich ${\displaystyle h}$.^[1]

1. ↑ Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert und Michel Raynaud: Néron models. Hrsg.: Springer-Verlag. Berlin 1990, S. 191.