Weyl-Gruppe

In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.

Weyl-Gruppe einer Lie-Gruppe

Es sei $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe und

G=KAN

ihre Iwasawa-Zerlegung (K ist eine kompakte Untergruppe, A eine abelsche und N eine nilpotente). Es seien ${\mathcal {N}}_{G}(A)$ der Normalisator von $A$ in $G$ und ${\mathcal {Z}}_{G}(A)$ der Zentralisator von $A$ in $G$ . Die Weyl-Gruppe ist definiert als

W={\mathcal {N}}_{G}(A)/{\mathcal {Z}}_{G}(A)

Sie ist eine endliche Gruppe, die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird.

Weyl-Gruppe einer kompakten Lie-Gruppe

Für jeden maximalen Torus $T\subset G$ sei ${\mathcal {N}}_{G}(T)$ und ${\mathcal {Z}}_{G}(T)$ der Normalisator und Zentralisator von $T$ , dann ist

W={\mathcal {N}}_{G}(T)/{\mathcal {Z}}_{G}(T)={\mathcal {N}}_{G}(T)/T

die Weyl-Gruppe von $T$ .

Weyl-Gruppe eines Wurzelsystems

Es sei $R$ ein Wurzelsystem in einem Vektorraum $V$ , dann heißt die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen

\left\{s_{\mathrm {A} }:\mathrm {A} \in R\right\}

erzeugte Gruppe $W$ die Weyl-Gruppe des Wurzelsystems.

Falls $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ ist, dann betrachtet man eine Cartan-Unteralgebra ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ und das dazugehörige Wurzelsystem $R$ . Die Weyl-Gruppe von $({\mathfrak {a}},R)$ stimmt mit der Weyl-Gruppe von $G$ überein.

Längstes Element

Das längste Element der Weyl-Gruppe (zu einem gegebenen Wurzelsystem) ist das Element maximaler Länge bzgl. des durch Spiegelungen an den von Wurzeln erzeugten Hyperebenen gegebenen Erzeugendensystems.

Beispiel

Die Weyl-Gruppe der speziellen linearen Gruppe $SL(n,\mathbb {R} )$ ist die symmetrische Gruppe $S_{n}$ . Das längste Element ist die Permutation $(1,2,\ldots ,n-1,n)\to (n,n-1,\ldots ,2,1)$ .