Base canónica

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En álgebra lineal, la base canónica o base usual del espacio vectorial ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es el conjunto de los ${\displaystyle n}$ vectores cuya única coordenada distinta de cero vale 1. Es decir, consta en el siguiente orden de los vectores:

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{(1,0,\dots ,0),(0,1,\dots ,0),\dots ,(0,0,\dots ,1)\}.}$

Cuando el cuerpo base es ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$, se trata de una base ortonormal para el producto escalar usual.

Como ejemplo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, la base canónica es ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{{\textbf {i}},{\textbf {j}},{\textbf {k}}\}}$, donde ${\displaystyle {\textbf {i}}=(1,0,0)}$, ${\displaystyle {\textbf {j}}=(0,1,0)}$ y ${\displaystyle {\textbf {k}}=(0,0,1)}$. Un vector cualquiera ${\displaystyle \mathbf {v} =(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$ se representa de forma única a través de una combinación lineal de los vectores básicos:

${\displaystyle {\textbf {v}}=x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }$

Por ejemplo:

${\displaystyle (-1,5,3)=-\mathbf {i} +5\mathbf {j} +3\mathbf {k} }$

Plano y espacio euclídeos

El plano vectorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ y el espacio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ se construyen ambos como el producto cartesiano de copias de la recta real:

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$.

Por lo tanto, los vectores del plano se representan mediante dos componentes: ${\displaystyle \mathbf {v} =(a,b)}$. Si se dibujan los ejes cartesianos, entonces ${\displaystyle a}$ indica el desplazamiento en el eje ${\displaystyle X}$ necesario para dibujar el vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$, mientras que ${\displaystyle b}$ es el desplazamiento en el eje ${\displaystyle Y}$.

En otras palabras, si se ponen ${\displaystyle a}$ copias del vector ${\displaystyle \mathbf {i} =(1,0)}$ seguidas por ${\displaystyle b}$ copias del vector ${\displaystyle \mathbf {j} =(0,1)}$, colocadas de acuerdo con la regla geométrica de la suma de vectores, el vector suma obtenido es precisamente ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Exactamente lo mismo ocurre en el espacio, donde ${\displaystyle \mathbf {v} =(a,b,c)}$ y la ${\displaystyle c}$ representa el desplazamiento en el eje ${\displaystyle Z}$, o el número de copias de ${\displaystyle \mathbf {k} =(0,0,1)}$ necesarias.

Las componentes ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ y ${\displaystyle c}$ coinciden con las proyecciones ortogonales de ${\displaystyle \mathbf {v} }$ respecto de los ejes ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$, respectivamente.

La base canónica además de generar el espacio vectorial, le induce su producto escalar usual, y por ende su norma euclídea, que mide la distancia de un vector al cero en línea recta, considerando a los vectores de la base usual como ortogonales y unitarios. Como se toman de referencia en dichas definiciones, los vectores i , j y k forman una base ortonormal (son ortogonales y unitarios). Sin embargo, esta propiedad no caracteriza a la base canónica. Otra base ortonormal del espacio viene dada por:

${\displaystyle \{({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}},0),(-{\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}},0),(0,0,1)\},}$

que incluso tiene la misma orientación que la usual. No obstante, la base usual es la más sencilla posible con estas propiedades.

Esta misma construcción se generaliza a espacios de dimensión arbitraria.

Ejemplo

Observando la figura, el sistema de coordenadas está formado por las rectas: ${\displaystyle {\color {BlueViolet}{\mbox{x (eje de abscisas)}}}}$ , ${\displaystyle {\color {Red}{\mbox{y (eje de ordenadas)}}}}$ y ${\displaystyle {\color {PineGreen}{\mbox{z (eje de cotas)}}}}$.

Los vectores directores de cada una de las rectas de los ejes de coordenadas que conforman la base canónica son: ${\displaystyle {\color {BlueViolet}{\mbox{i}}}}$, ${\displaystyle {\color {Red}{\mbox{j}}}}$ y ${\displaystyle {\color {PineGreen}{\mbox{k}}}}$.

El vector ${\displaystyle \mathbf {a} _{x}}$ es generado por ${\displaystyle \mathbf {\color {BlueViolet}{\mbox{i}}} }$ de tal forma que es λ veces mayor que este.

El vector ${\displaystyle \mathbf {a} _{y}}$ es generado por ${\displaystyle \mathbf {\color {Red}{\mbox{j}}} }$ de tal forma que es μ veces mayor que este.

El vector ${\displaystyle \mathbf {a} _{z}}$ es generado por ${\displaystyle \mathbf {\color {PineGreen}{\mbox{k}}} }$ de tal forma que es ν veces mayor que este.

Por lo tanto, se verifican las siguientes igualdades:

${\displaystyle a_{x}=\lambda \,}$

${\displaystyle a_{y}=\mu \,}$

${\displaystyle a_{z}=\nu \,}$

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})=\lambda \mathbf {i} +\mu \mathbf {j} +\nu \mathbf {k} =\lambda (1,0,0)+\mu (0,1,0)+\nu (0,0,1)=(\lambda ,0,0)+(0,\mu ,0)+(0,0,\nu )=(\lambda ,\mu ,\nu )}$.

Generalización

Para cualquier anillo (unitario) ${\displaystyle R}$ y conjunto ${\displaystyle I}$, se define el módulo libre ${\displaystyle R^{(I)}}$ como el conjunto de todas las aplicaciones ${\displaystyle f:I\to R}$ de soporte finito. Si para cada ${\displaystyle i\in I}$ definimos el vector básico

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}(j)=\delta _{ij}}$,

donde ${\displaystyle \delta }$ representa a la delta de Kronecker, entonces la familia

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\ :\ i\in I\}}$

forma una base del módulo ${\displaystyle R^{(I)}}$. Se recupera el concepto de base canónica cuando ${\displaystyle R}$ es un cuerpo e ${\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}.}$

Véase también

• Cuadrante (geometría)
• Vector (física)
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Independencia lineal
• Base (álgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Producto escalar

Referencias

• J. J. Lozano Lucea, J. L. Vigatá Campo (1992). Cálculo con vectores. Alhambra Longman. ISBN 84-205-2122-1. 
• Seymour Lipschutz (1992). Algebra Lineal (2 edición). McGraw-Hill Interamericana. ISBN 8476157584.