Compleción (álgebra)

En álgebra abstracta, una compleción es cualquiera de los varios functores en anillos y módulos que resultan en anillos y módulos topológicamente completos. La compleción es similar a la localización, y junto a ella está entre las herramientas más básicas para analizar anillos conmutativos. Los anillos conmutativos completos tienen una estructura más sencilla que los generales y el lema de Hensel se aplica a ellos. Geométricamente, una compleción de un anillo conmutativo R se concentra en un entorno formal de un punto o un subvariedad cerrada de Zariski de su espectro Spec R.

Construcción general

Supongamos que E es un grupo abeliano con una filtración descendente:

${\displaystyle E=F^{0}{E}\supset F^{1}{E}\supset F^{2}{E}\supset \cdots \,}$

de subgrupos. Podemos definir la compleción (con respecto a la filtración) como el límite inverso:

${\displaystyle {\hat {E}}=\varprojlim (E/F^{n}{E}).\,}$

Esto es otra vez un grupo abeliano. Normalmente, E será un grupo abeliano aditivo. Si E tiene una estructura algebraica adicional compatible con la filtración; por ejemplo, si E es un anillo filtrado, un módulo filtrado, o un espacio vectorial filtrado; entonces su compleción es otra vez un objeto con la misma estructura, que es completo en la topología determinada por la filtración. Esta construcción puede ser aplicada tanto a anillos conmutativos como no conmutativos. Como era de esperar, esto produce un anillo topológico completo.

Ejemplos

1. El anillo de enteros p-ádicos Zp se obtiene completando el anillo Z de enteros en el ideal (p).

Referencias

• David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, Nueva York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6 MR 1322960