Complejo simplicial

En la matemática, un complejo simplicial es un tipo particular de espacio topológico construido mediante el pegado de puntos, segmentos de línea, triángulos, tetraedros y demás análogos de dimensiones superiores. Este concepto no debe ser confundido con la noción abstracta de conjunto simplicial que surge en la moderna teoría simplicial homotópica

Ejemplo

Sean ${\displaystyle p_{0},\ldots ,p_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ con ${\displaystyle k\geq 1}$ que están en posición general, la clausura convexa del conjunto ${\displaystyle \{p_{0},\ldots ,p_{k}\}}$ se llama k-símplice de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y se denota ${\displaystyle \langle p_{0},\ldots ,p_{k}\rangle }$. Se prueba sin dificultad que:

${\displaystyle \langle p_{0},\cdots ,p_{k}\rangle =\{a\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ a=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}p_{i}\}}$

con ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\lambda _{i}=1}$ y ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$ para todas las i.

Los ${\displaystyle \lambda _{i}\,}$ de la representación anterior se llaman coordenadas baricéntricas del punto ${\displaystyle a\,}$. Si tomamos ${\displaystyle \{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{r}}\}\subseteq \{p_{0},\ldots ,p_{k}\}}$, se dice que el r-símplice ${\displaystyle \langle p_{i_{1}},\cdots ,p_{i_{r}}\rangle }$ es una cara de ${\displaystyle \langle p_{0},\cdots ,p_{k}\rangle }$.

Observe que un 0-símplice es un punto, un 1-símplice es un segmento, un 2-símplice es un triángulo y un 3-símplice es un tetraedro.

Caracterización

Un complejo simplicial (finito) es un conjunto finito de ${\displaystyle K\,}$- símplices de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ que cumple las dos condiciones siguientes:

1. Si un símplice pertenece a ${\displaystyle K\,}$, entonces todas sus caras pertenecen a ${\displaystyle K\,}$.
2. Si dos símplices de ${\displaystyle K\,}$ se cortan, su intersección es una cara común.

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Complejo simplicial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Simplicial_complex&oldid=15643», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .