Número hipercomplejo

En matemática, los números hipercomplejos son una extensión de los números complejos construidos mediante herramientas del álgebra abstracta, tales como terniones, cuaterniones, tesarines, cocuaterniones, octoniones, bicuaterniones y sedeniones.

Estructura algebraica

Para ser más precisos, forman álgebras n-dimensionales sobre los números reales. Pero ninguna de estas extensiones forma un cuerpo conmutativo, principalmente porque el cuerpo de los números complejos está algebraicamente cerrado (ver Teorema Fundamental del Álgebra).

Los cuaterniones, octoniones y sedeniones pueden generarse aplicando la construcción de Cayley-Dickson. Las álgebras de Clifford son otra familia de números hipercomplejos.

Representaciones geométricas

Así como los números complejos pueden ser vistos como puntos en un plano, los números hipercomplejos se pueden ver como puntos en algún espacio euclídeo de más dimensiones (4 dimensiones para los cuaterniones, tessarines y cocuaterniones, 8 para los octoniones y bicuaterniones, 16 para los sedeniones).

Otro caso interesante es el de los números hipercomplejos unitarios, que tienen módulo unidad, estos pueden ser representados como n-esferas:

• Los cuaterniones unitarios pueden ser representados como ${\displaystyle S^{3}}$.
• Los octoniones unitarios pueden ser representados como ${\displaystyle S^{7}}$.

Estas representaciones están muy ligadas a la posibilidad de caracterizar una n-esfera ${\displaystyle S^{n}}$ como fibrado de Hopf sobre un espacio base ${\displaystyle S^{m}}$ con m < n donde cada fibra sea ${\displaystyle S^{n-m}}$.

Módulo de un número hipercomplejo

Si como se ha explicado antes los números hipercomplejos se representan por vectores de un espacio euclídeo. Para los números hipercomplejos que lo admiten (todos menos los sedeniones de Cayley-Dickson), el módulo de un número hipercomplejo no es otra cosa que el módulo del vector que los representa. El módulo de un número hipercomplejo |Z| puede calcularse como la raíz del producto del número hipercomplejo por su hipercomplejo conjugado:

${\displaystyle |Z|={\sqrt {Z{\bar {Z}}}}}$

Referencias

Bibliografía

• Daniel Alfsmann (2006) On families of 2^N dimensional hypercomplex algebras suitable for digital signal processing Archivado el 16 de julio de 2011 en Wayback Machine., 14th European Signal Processing Conference, Florence, Italy.
• Emil Artin (1928) "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen" and "Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen", in The Collected Papers of Emil Artin, Serge Lang and John T. Tate editors, pp 301–45, Addison-Wesley, 1965.
• Baez, John (2002), «The Octonions», Bulletin of the American Mathematical Society 39: 145-205, ISSN 0002-9904, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X .
• John H. Ewing editor (1991) Numbers, Springer, ISBN 3-540-97497-0 .
• Thomas Hawkins (1972) "Hypercomplex numbers, Lie groups, and the creation of group representation theory", Archive for History of Exact Sciences 8:243–87.
• Kantor, I.L., Solodownikow (1978), Hyperkomplexe Zahlen, BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig.
• Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S. (1989), Hypercomplex numbers, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96980-0, MR 996029 .
• Jeanne La Duke (1983) "The study of linear associative algebras in the United States, 1870 - 1927", see pp. 147–159 of Emmy Noether in Bryn Mawr Bhama Srinivasan & Judith Sally editors, Springer Verlag.
• Theodor Molien (1893) "Über Systeme höher complexen Zahlen", Mathematische Annalen 41:83–156.
• Silviu Olariu (2002) Complex Numbers in N Dimensions, North-Holland Mathematics Studies #190, Elsevier ISBN 0-444-51123-7 .
• K.H. Parshall (1985) "Wedderburn and the Structure of Algebras" Archive for History of Exact Sciences 32:223–349.
• Ian R. Porteous (1995) Clifford Algebras and the Classical Groups, pages 88 & 89, Cambridge University Press ISBN 0-521-55177-3 .
• Irene Sabadini, Michael Shapiro & Frank Sommen, editors (2009) Hypercomplex Analysis and Applications Birkhauser ISBN 978-3-7643-9892-7 .
• Eduard Study (1898) "Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen", Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften I A 4 147–83.
• Henry Taber (1904) "On Hypercomplex Number Systems", Transactions of the American Mathematical Society 5:509.
• van der Waerden, Bartel Leendert (1985). «Chapter 10: The discovery of algebras, Chapter 11: Structure of algebras». A History of Algebra. Springer. ISBN 9783540136101. 
• Plantilla:Eom
• Joseph Wedderburn (1907) "On Hypercomplex Numbers", Proceedings of the London Mathematical Society 6:77–118.