Rigidez de Born

La rigidez de Born es un concepto de la relatividad especial que trata de generalizar la noción de sólido rígido de la mecánica clásica no relativista.

El concepto fue introducido por Max Born (1909),[1]​[2]​ quien dio una descripción detallada del caso de aceleración propia constante que llamó movimiento hiperbólico. Cuando autores posteriores como Paul Ehrenfest (1909)[3]​ intentaron incorporar también los movimientos de rotación, quedó claro que la rigidez de Born es un sentido muy restrictivo de la rigidez, lo que condujo al teorema de Herglotz-Noether, según el cual existen severas restricciones para los movimientos rígidos de Born de rotación. Fue formulado por Gustav Herglotz (1909, que clasificó todas las formas de movimientos de rotación)[4]​ y de forma menos general por Fritz Noether (1909).[5]​ Como resultado, Born (1910)[6]​ y otros dieron definiciones alternativas y menos restrictivas de la rigidez.

Definición

La rigidez de Born se satisface si la ortogonal espacio-tiempo entre curvas infinitesimalmente separadas o líneas de universo son constantes,[7]​ o, de forma equivalente, si la longitud del cuerpo rígido en sistema de referencia inercial instantáneo y co-móvil medido por varas de medir estándar (es decir la longitud propia) es constante y, por tanto, está sometida a la contracción de Lorentz en los marcos relativamente móviles.[8]​ La rigidez de Born es una restricción al movimiento de un cuerpo extendido, que se consigue mediante la aplicación cuidadosa de fuerzas a diferentes partes del cuerpo. Un cuerpo rígido en sí mismo violaría la relatividad especial, ya que su velocidad del sonido sería infinita.

Una clasificación de todos los posibles movimientos rígidos de Born puede obtenerse utilizando el teorema de Herglotz-Noether. Este teorema establece, que todos los movimientos rígidos de Born sin rotación (clase A) consisten en hiperplanos que se mueven rígidamente a través del espacio-tiempo, mientras que cualquier movimiento rígido de Born con rotación (clase B) debe ser un movimiento isométrico de Killing. Esto implica que un cuerpo rígido de Born sólo tiene tres grados de libertad. Así, un cuerpo puede ser llevado de forma rígida de Born desde el reposo a cualquier movimiento de traslación, pero no puede ser llevado de forma rígida de Born desde el reposo a un movimiento de rotación.[9]​

Tensiones y rigidez de Born

Herglotz (1911),[10]​ demostró que una teoría de la elasticidad relativista puede basarse en la suposición, de que las tensiones surgen cuando se incumple la condición de rigidez de Born.[11]​

Un ejemplo de incumplimiento de la rigidez de Born es la paradoja de Ehrenfest: Aunque el estado de movimiento circular uniforme de un cuerpo se encuentra entre los movimientos rígidos de Born permitidos de la clase B, un cuerpo no puede ser llevado desde cualquier otro estado de movimiento al movimiento circular uniforme sin romper la condición de rigidez de Born durante la fase en la que el cuerpo sufre diversas aceleraciones. Pero si esta fase ha terminado y la aceleración centrípeta se hace constante, el cuerpo puede estar en rotación uniforme de acuerdo con la rigidez de Born. Asimismo, si ahora está en movimiento circular uniforme, este estado no puede cambiarse sin romper de nuevo la rigidez de Born del cuerpo.

Otro ejemplo es la paradoja de la nave espacial de Bell: Si los extremos de un cuerpo son acelerados con aceleraciones propias constantes en dirección rectilínea, entonces el extremo principal debe tener una aceleración propia menor para dejar la longitud propia constante de modo que se satisfaga la rigidez de Born. También exhibirá una contracción de Lorentz creciente en un marco inercial externo, es decir, en el marco externo los puntos extremos del cuerpo no están acelerando simultáneamente. Sin embargo, si se elige un perfil de aceleración diferente por el cual los puntos extremos del cuerpo se aceleran simultáneamente con la misma aceleración propia que se observa en el marco inercial externo, se romperá su rigidez de Born, porque la longitud constante en el marco externo implica una longitud propia creciente en un marco comoving debido a la relatividad de la simultaneidad. En este caso, un hilo frágil atravesado por dos cohetes experimentará tensiones (que se denominan tensiones de Herglotz-Dewan-Beran[8]​) y, en consecuencia, se romperá.

Movimientos rígidos de Born

Una clasificación de los movimientos rígidos de Born permitidos, en particular los rotacionales, en el espacio-tiempo de Minkowski plano fue dada por Herglotz,[4]​ que también fue estudiada por Friedrich Kottler (1912, 1914),[12]​ Georges Lemaître (1924),[13]​ Adriaan Fokker (1940),[14]​ George Salzmann & Abraham H. Taub (1954).[7]​ Herglotz señaló que un continuo se mueve como un cuerpo rígido cuando las líneas del mundo de sus puntos son curvas equidistantes en R 4 {\displaystyle \mathbf {R} ^{4}} . El mundo resultante puede dividirse en dos clases:

Clase A: Movimientos sin rotación

Herglotz definió esta clase en términos de curvas equidistantes que son las trayectorias ortogonales de una familia de hiperplanos, que también pueden verse como soluciones de una ecuación de Riccati[15]​ (esto fue llamado "movimiento plano" por Salzmann & Taub[7]​ o "movimiento rígido irrotacional" por Boyer[16]​[17]​). Llegó a la conclusión de que el movimiento de dicho cuerpo está completamente determinado por el movimiento de uno de sus puntos.

La métrica general para estos movimientos irrotacionales ha sido dada por Herglotz, cuyo trabajo fue resumido con notación simplificada por Lemaître (1924). También la Métrica de Fermi en la forma dada por Christian Møller (1952) para marcos rígidos con movimiento arbitrario del origen fue identificada como la "métrica más general para el movimiento rígido irrotacional en relatividad especial".[18]​ En general, se demostró que el movimiento irrotacional de Born corresponde a aquellas congruencias de Fermi de las que cualquier línea del mundo puede utilizarse como línea de base (congruencia de Fermi homogénea).[19]​

Herglotz
1909 		d s 2 = d a 2 + φ ( d b , d c ) − Θ 2 d ϑ 2 {\displaystyle ds^{2}=da^{2}+\varphi (db,dc)-\Theta ^{2}d\vartheta ^{2}} [20]​
Lemaître
1924 		d s 2 = − d x 2 − d y 2 − d z 2 + ϕ 2 d t 2 ( ϕ = l x + m y + n z + p ) {\displaystyle {\begin{aligned}&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+\phi ^{2}dt^{2}\\&\quad \left(\phi =lx+my+nz+p\right)\end{aligned}}} [21]​
Møller
1952 		d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 − c 2 d t 2 [ 1 + g κ x κ c 2 ] 2 {\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right]^{2}} [22]​

Ya Born (1909) señaló que un cuerpo rígido en movimiento traslacional tiene una extensión espacial máxima que depende de su aceleración, dada por la relación b < c 2 / R {\displaystyle b<c^{2}/R} , donde b {\displaystyle b} es la aceleración propia y R {\displaystyle R} es el radio de una esfera en la que se encuentra el cuerpo, por lo que cuanto mayor sea la aceleración propia, menor será la extensión máxima del cuerpo rígido.[2]​ El caso especial del movimiento de traslación con aceleración propia constante se conoce como movimiento hiperbólico, con la línea de universo.

Born
1909 		x = − q ξ , y = η , z = ζ , t = p c 2 ξ ( p = d x d τ , q = − d t d τ = 1 + p 2 / c 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi \\&\quad \left(p={\frac {dx}{d\tau }},\quad q=-{\frac {dt}{d\tau }}={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}\right)\end{aligned}}} [23]​
Herglotz
1909 		x = x ′ , y = y ′ , t − z = ( t ′ − z ′ ) e ϑ , t + z = ( t ′ + z ′ ) e − ϑ {\displaystyle x=x',\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }} [24]​

x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 2 + t 2 {\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z={\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}} [25]​

Sommerfeld
1910 		x = r cos ⁡ φ , y = y ′ , z = z ′ , l = r sin ⁡ φ ( l = i c t , φ = i ψ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi \\&\quad \left(l=ict,\quad \varphi =i\psi \right)\end{aligned}}} [26]​
Kottler
1912, 1914 		x ( 1 ) = x 0 ( 1 ) , x ( 2 ) = x 0 ( 2 ) , x ( 3 ) = b cos ⁡ i u , x ( 4 ) = b sin ⁡ i u d s 2 = − c 2 d τ 2 = b 2 ( d u ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=b^{2}(du)^{2}\end{aligned}}} [27]​

x = x 0 , y = y 0 , z = b cosh ⁡ u , c t = b sinh ⁡ u {\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z=b\cosh u,\quad ct=b\sinh u} [28]​

Clase B: Movimientos con rotación

Herglotz definió esta clase de movimientos en términos de curvas equidistantes que sean las trayectorias de un grupo de movimiento de un parámetro[29]​ (esto fue llamado "movimiento de grupo" por Salzmann & Taub[7]​ y fue identificado con un movimiento isométrico a lo largo de campo vectorial de Killing por Felix Pirani & Gareth Williams (1962)[30]​). Señaló que consisten en líneas de universo cuyas tres curvaturas son constantes (conocidas como curvatura, torsión e hipertorsión), formando una hélice.[31]​ Las líneas del mundo de curvaturas constantes en el espaciotiempo plano también fueron estudiadas por Kottler (1912),[12]​ Petrův (1964),[32]​ John Lighton Synge (1967, que las llamó hélices semejantes al tiempo en el espacio-tiempo plano),[33]​ o Letaw (1981, que las llamó líneas de universo estacionarias)[34]​ como las soluciones de las fórmulas de Frenet-Serret.

Herglotz separó aún más la clase B utilizando cuatro grupos de transformaciones de Lorentz de un parámetro (loxodrómica, elíptica, hiperbólica, parabólica) en analogía con Movimientos hiperbólicos (es decir automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico), y señaló que el movimiento hiperbólico de Born (que se desprende del grupo hiperbólico con α = 0 {\displaystyle \alpha =0} en la notación de Herglotz y Kottler, λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} en la notación de Lemaître, q = 0 {\displaystyle q=0} en la notación de Synge; véase la siguiente tabla) es el único movimiento rígido de Born que pertenece a ambas clases A y B.

Grupo loxodrómico (combinación de movimiento hiperbólico y rotación constante)
Herglotz
1909 		x + i y = ( x ′ + i y ′ ) e i λ ϑ , x − i y = ( x ′ − i y ′ ) e − i λ ϑ , t − z = ( t ′ − z ′ ) e ϑ , t + z = ( t ′ + z ′ ) e − ϑ {\displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\lambda \vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\lambda \vartheta },\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }} [35]​
Kottler
1912, 1914 		x ( 1 ) = a cos ⁡ λ ( u − u 0 ) , x ( 2 ) = a sin ⁡ λ ( u − u 0 ) , x ( 3 ) = b cos ⁡ i u , x ( 4 ) = b sin ⁡ i u d s 2 = − c 2 d τ 2 = − ( b 2 − a 2 λ 2 ) ( d u ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}} [36]​
Lemaître
1924 		ξ = x cos ⁡ λ t − y sin ⁡ λ t , η = x sin ⁡ λ t + y cos ⁡ λ t , ζ = z cosh ⁡ t , τ = z sinh ⁡ t d s 2 = − d r 2 − r 2 d θ 2 − d z 2 − 2 λ r 2 d θ   d t + ( z 2 − λ 2 r 2 ) d t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}} [37]​
Synge
1967 		x = q ω − 1 sin ⁡ ω s , y = − q ω − 1 cos ⁡ ω s , z = r χ − 1 cosh ⁡ χ s , t = r χ − 1 sinh ⁡ χ s {\displaystyle x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s} [38]​
Grupo elíptico (rotación uniforme)
Herglotz
1909 		x + i y = ( x ′ + i y ′ ) e i ϑ , x − i y = ( x ′ − i y ′ ) e − i ϑ , z = z ′ , t = t ′ + δ ϑ {\displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\vartheta },\quad z=z',\quad t=t'+\delta \vartheta } [39]​
Kottler
1912, 1914 		x ( 1 ) = a cos ⁡ λ ( u − u 0 ) , x ( 2 ) = a sin ⁡ λ ( u − u 0 ) , x ( 3 ) = x 0 ( 3 ) , x ( 4 ) = i u d s 2 = − c 2 d τ 2 = − ( 1 − a 2 λ 2 ) ( d u ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)},\quad x^{(4)}=iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(1-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}} [40]​
de Sitter
1916 		θ ′ = θ − ω c t ,   ( d σ ′ 2 = d r ′ 2 + r ′ 2 d θ ′ 2 + d z ′ 2 ) d s 2 = − d σ ′ 2 − 2 r ′ 2 ω   d θ ′ c d t + ( 1 − r ′ 2 ω 2 ) c 2 d t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\theta '=\theta -\omega ct,\ \left(d\sigma ^{\prime 2}=dr^{\prime 2}+r^{\prime 2}d\theta ^{\prime 2}+dz^{\prime 2}\right)\\&ds^{2}=-d\sigma ^{\prime 2}-2r^{\prime 2}\omega \ d\theta 'cdt+\left(1-r^{\prime 2}\omega ^{2}\right)c^{2}dt^{2}\end{aligned}}} [41]​
Lemaître
1924 		ξ = x cos ⁡ λ t − y sin ⁡ λ t , η = x sin ⁡ λ t + y cos ⁡ λ t , ζ = z , τ = t d s 2 = − d r 2 − r 2 d θ 2 − d z 2 − 2 λ r 2 d θ   d t + ( 1 − λ 2 r 2 ) d t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z,\quad \tau =t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(1-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}} [42]​
Synge
1967 		x = q ω − 1 sin ⁡ ω s , y = − q ω − 1 cos ⁡ ω s , z = 0 , t = s r {\displaystyle x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=0,\quad t=sr} [43]​
Grupo hiperbólico (movimiento hiperbólico más traslación espacial)
Herglotz
1909 		x = x ′ + α ϑ , y = y ′ , t − z = ( t ′ − z ′ ) e ϑ , t + z = ( t ′ + z ′ ) e − ϑ {\displaystyle x=x'+\alpha \vartheta ,\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }} [44]​
Kottler
1912, 1914 		x ( 1 ) = x 0 ( 1 ) + α u , x ( 2 ) = x 0 ( 2 ) , x ( 3 ) = b cos ⁡ i u , x ( 4 ) = b sin ⁡ i u d s 2 = − c 2 d τ 2 = − ( b 2 − α 2 ) ( d u ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+\alpha u,\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}} [45]​
Lemaître
1924 		ξ = x + λ t , η = y , ζ = z cosh ⁡ t , τ = z sinh ⁡ t d s 2 = − d x 2 − d y 2 − d z 2 − 2 λ d x   d t + ( z 2 − λ 2 ) d t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x+\lambda t,\quad \eta =y,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}-2\lambda dx\ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}} [46]​
Synge
1967 		x = s q , y = 0 , z = r χ − 1 cosh ⁡ χ s , t = r χ − 1 sinh ⁡ χ s {\displaystyle x=sq,\quad y=0,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s} [47]​
Grupo parabólico (describiendo una parábola semicúbica)
Herglotz
1909 		x = x 0 + 1 2 δ ϑ 2 , y = y 0 + β ϑ , z = z 0 + x 0 ϑ + 1 6 δ ϑ 3 , t − z = δ ϑ {\displaystyle x=x_{0}+{\frac {1}{2}}\delta \vartheta ^{2},\quad y=y_{0}+\beta \vartheta ,\quad z=z_{0}+x_{0}\vartheta +{\frac {1}{6}}\delta \vartheta ^{3},\quad t-z=\delta \vartheta } [25]​
Kottler
1912, 1914 		x ( 1 ) = x 0 ( 1 ) + 1 2 α u 2 , x ( 2 ) = x 0 ( 2 ) , x ( 3 ) = x 0 ( 3 ) + x 0 ( 1 ) u + 1 6 α u 3 , x ( 4 ) = i x ( 3 ) + i α u d s 2 = − c 2 d τ 2 = − ( α 2 + 2 x 0 ( 1 ) ) ( d u ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+{\frac {1}{2}}\alpha u^{2},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)}+x_{0}^{(1)}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3},\quad x^{(4)}=ix^{(3)}+i\alpha u\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(\alpha ^{2}+2x_{0}^{(1)}\right)(du)^{2}\end{aligned}}} [48]​
Lemaître
1924 		ξ = x + 1 2 λ t 2 , η = y + μ t , ζ = z + x t + 1 6 λ t 3 , τ = λ t + z + x t + 1 6 λ t 3 d s 2 = − d x 2 − d y 2 − 2 μ   d y   d t + 2 λ   d z   d t + ( 2 λ x + λ 2 − μ 2 ) d t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x+{\frac {1}{2}}\lambda t^{2},\quad \eta =y+\mu t,\quad \zeta =z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3},\quad \tau =\lambda t+z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3}\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-2\mu \ dy\ dt+2\lambda \ dz\ dt+\left(2\lambda x+\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}} [37]​
Synge
1967 		x = 1 6 b 2 s 3 , y = 0 , z = 1 2 b s 2 , t = s + 1 6 b 2 s 3 {\displaystyle x={\frac {1}{6}}b^{2}s^{3},\quad y=0,\quad z={\frac {1}{2}}bs^{2},\quad t=s+{\frac {1}{6}}b^{2}s^{3}} [49]​

Relatividad general

Se han hecho diversos intentos por extender el concepto de rigidez de Born a la relatividad general por parte de Salzmann & Taub (1954),[7]​ C. Beresford Rayner (1959),[50]​ Pirani & Williams (1962),[30]​ Robert H. Boyer (1964).[16]​ En particular, se pudo comprobar que el teorema de Herglotz-Noether de la relatividad especial no se satisface por completo, porque son posibles marcos rígidos en rotación o congruencias que no representan movimientos isométricos de Killing.[30]​

Alternativas

También se han propuesto varias formulaciones más débiles como condiciones de rigidez, como por ejemplo por Noether (1909)[5]​ o el propio Born (1910).[6]​

Una alternativa moderna fue dada por Epp, Mann & McGrath.[51]​ En contraste con la congruencia rígida ordinaria de Born que consiste en la "historia de un conjunto de puntos que llenan un volumen espacial", ellos recuperan los seis grados de libertad de la mecánica clásica utilizando un marco rígido cuasilocal definiendo una congruencia en términos de la "historia del conjunto de puntos en la superficie que limita un volumen espacial".

Referencias

  1. ↑ Born (1909a)
  2. ↑ a b Born (1909b)
  3. ↑ Ehrenfest (1909)
  4. ↑ a b Herglotz (1909)
  5. ↑ a b Noether (1909)
  6. ↑ a b Born (1910)
  7. ↑ a b c d e Salzmann & Taub (1954)
  8. ↑ a b Gron (1981)
  9. ↑ Giulini (2008)
  10. ↑ Herglotz (1911)
  11. ↑ Pauli (1921)
  12. ↑ a b Kottler (1912); Kottler (1914a)
  13. ↑ Lemaître (1924)
  14. ↑ Fokker (1940)
  15. ↑ Herglotz (1909), pp. 401, 415
  16. ↑ a b Boyer (1965)
  17. ↑ Giulini (2008), Teorema 18
  18. ↑ Boyer (1965), p. 354
  19. ↑ Bel (1995), teorema 2
  20. ↑ Herglotz (1909), p. 401
  21. ↑ Lemaître (1924), p. 166, 170
  22. ↑ (1952), p. 254
  23. ↑ Born (1909), p. 25
  24. ↑ Herglotz (1909), p. 408
  25. ↑ a b Herglotz (1909), p. 414
  26. ↑ Sommerfled (1910), p. 670
  27. ↑ Kottler (1912), p. 1714; Kottler (1914a), table 1, case IIIb
  28. ↑ Kottler (1914b), p. 488
  29. ↑ Herglotz (1909), pp. 402, 409-415
  30. ↑ a b c Pirani & Willims (1962)
  31. ↑ Herglotz (1909), p. 403
  32. ↑ Petrův (1964)
  33. ↑ Synge (1967)
  34. ↑ Letaw (1981)
  35. ↑ Herglotz (1909), p. 411
  36. ↑ Kottler (1912), p. 1714; Kottler (1914a), table 1, case I
  37. ↑ a b Lemaître (1924), p. 175
  38. ↑ Synge (1967), Type I
  39. ↑ Herglotz (1909), p. 412
  40. ↑ Kottler (1912), p. 1714; Kottler (1914a), table 1, case IIb
  41. ↑ DeSitter (1916), p. 178
  42. ↑ Lemaître (1924), p. 173
  43. ↑ Synge (1967), Type IIc
  44. ↑ Herglotz (1909), p. 413
  45. ↑ Kottler (1912), p. 1714; Kottler (1914a), table 1, case IIIa
  46. ↑ Lemaître (1924), p. 174
  47. ↑ Synge (1967), Type IIa
  48. ↑ Kottler (1912), p. 1714; Kottler (1914a), table 1, case IV
  49. ↑ Synge (1967), Type IIb
  50. ↑ Rayner (1959)
  51. ↑ Epp, Mann & McGrath (2009)

Bibliografía

  • Born, Max (1909a), «Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips» [The Theory of the Rigid Electron in the Kinematics of the Principle of Relativity], Annalen der Physik 335 (11): 1-56, Bibcode:1909AnP...335....1B, doi:10.1002/andp.19093351102 .
  • Born, Max (1909b), «Über die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips» [Wikisource translation: Concerning the Dynamics of the Electron in the Kinematics of the Principle of Relativity], Physikalische Zeitschrift 10: 814-817 .
  • Born, Max (1910), «Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips» [Wikisource translation: [[s:Translation:On the Kinematics of the Rigid Body in the System of the Principle of Relativity|On the Kinematics of the Rigid Body in the System of the Principle of Relativity]]], Göttinger Nachrichten 2: 161-179  Wikienlace dentro del título de la URL (ayuda).
  • Ehrenfest, Paul (1909), «Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie» [Wikisource translation: Uniform Rotation of Rigid Bodies and the Theory of Relativity], Physikalische Zeitschrift 10: 918, Bibcode:1909PhyZ...10..918E  Parámetro desconocido |title-link= ignorado (ayuda).
  • Herglotz, Gustav (1910) [1909], «Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper» [Wikisource translation: [[s:Translation:On bodies that are to be designated as "rigid"|On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle]]], Annalen der Physik 336 (2): 393-415, Bibcode:1910AnP...336..393H, doi:10.1002/andp.19103360208  Wikienlace dentro del título de la URL (ayuda).
  • Herglotz, Gustav (1911), «Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie», Annalen der Physik 341 (13): 493-533, Bibcode:1911AnP...341..493H, doi:10.1002/andp.19113411303 .; English translation by David Delphenich: On the mechanics of deformable bodies from the standpoint of relativity theory.
  • Noether, Fritz (1910) [1909]. «Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie». Annalen der Physik 336 (5): 919-944. Bibcode:1910AnP...336..919N. doi:10.1002/andp.19103360504. 
  • Sommerfeld, Arnold (1910). «Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis» [Wikisource translation: [[s:Translation:On the Theory of Relativity II: Four-dimensional Vector Analysis|On the Theory of Relativity II: Four-dimensional Vector Analysis]]]. Annalen der Physik 338 (14): 649-689. Bibcode:1910AnP...338..649S. doi:10.1002/andp.19103381402.  Wikienlace dentro del título de la URL (ayuda)
  • Kottler, Friedrich (1912). «Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt» [Wikisource translation: On the spacetime lines of a Minkowski world]. Wiener Sitzungsberichte 2a 121: 1659-1759. hdl:2027/mdp.39015051107277. 
  • Kottler, Friedrich (1914a). «Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung». Annalen der Physik 349 (13): 701-748. Bibcode:1914AnP...349..701K. doi:10.1002/andp.19143491303. 
  • Kottler, Friedrich (1914b). «Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips». Annalen der Physik 350 (20): 481-516. Bibcode:1914AnP...350..481K. doi:10.1002/andp.19143502003. 
  • De Sitter, W. (1916). «On Einstein's theory of gravitation and its astronomical consequences. Second paper». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 77 (2): 155-184. Bibcode:1916MNRAS..77..155D. doi:10.1093/mnras/77.2.155. 
  • Pauli, Wolfgang (1921), «Die Relativitätstheorie», Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften 5 (2): 539-776 .
En inglés: Pauli, W. (1981) [1921]. «Theory of Relativity». Fundamental Theories of Physics 165 (Dover Publications). ISBN 0-486-64152-X. 
  • Lemaître, G. (1924), «The motion of a rigid solid according to the relativity principle», Philosophical Magazine, Series 6 48 (283): 164-176, doi:10.1080/14786442408634478 .
  • Fokker, A. D. (1949), «On the space-time geometry of a moving rigid body», Reviews of Modern Physics 21 (3): 406-408, Bibcode:1949RvMP...21..406F, doi:10.1103/RevModPhys.21.406 .
  • Møller, C. (1955) [1952]. The theory of relativity. Oxford Clarendon Press. 
  • Salzman, G., & Taub, A. H. (1954), «Born-type rigid motion in relativity», Physical Review 95 (6): 1659-1669, Bibcode:1954PhRv...95.1659S, doi:10.1103/PhysRev.95.1659 .
  • Rayner, C. B. (1959), «Le corps rigide en relativité générale», Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste 2: 1-15 .
  • Pirani, F. A. E., & Williams, G. (1962), «Rigid motion in a gravitational field», Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste 5: 1-16 .
  • Petrův, V. (1964). «Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle konstanter Krümmungen». Aplikace Matematiky 9 (4): 239-240. 
  • Boyer, R. H. (1965), «Rigid frames in general relativity», Proceedings of the Royal Society of London A 28 (1394): 343-355, Bibcode:1965RSPSA.283..343B, S2CID 120278621, doi:10.1098/rspa.1965.0025 .
  • Synge, J. L. (1967) [1966]. «Timelike helices in flat space-time». Proceedings of the Royal Irish Academy, Section A 65: 27-42. JSTOR 20488646. 
  • Grøn, Ø. (1981), «Covariant formulation of Hooke's law», American Journal of Physics 49 (1): 28-30, Bibcode:1981AmJPh..49...28G, doi:10.1119/1.12623 .
  • Letaw, J. R. (1981). «Stationary world lines and the vacuum excitation of noninertial detectors». Physical Review D 23 (8): 1709-1714. Bibcode:1981PhRvD..23.1709L. doi:10.1103/PhysRevD.23.1709. 
  • Bel, L. (1995) [1993], «Born's group and Generalized isometries», Relativity in General: Proceedings of the Relativity Meeting'93 (Atlantica Séguier Frontières): 47, Bibcode:2011arXiv1103.2509B, arXiv:1103.2509 .
  • Giulini, Domenico (2008). The Rich Structure of Minkowski Space. «Minkowski Spacetime: A Hundred Years Later». Fundamental Theories of Physics 165 (Springer). p. 83. Bibcode:2008arXiv0802.4345G. ISBN 978-90-481-3474-8. arXiv:0802.4345. 
  • Epp, R. J., Mann, R. B., & McGrath, P. L. (2009), «Rigid motion revisited: rigid quasilocal frames», Classical and Quantum Gravity 26 (3): 035015, Bibcode:2009CQGra..26c5015E, S2CID 118856653, arXiv:0810.0072, doi:10.1088/0264-9381/26/3/035015 .

Enlaces externos

  • Born Rigidity, Acceleration, and Inertia at mathpages.com
  • The Rigid Rotating Disk in Relativity in the USENET Physics FAQ
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