Suma de Ramanujan

En matemáticas, la suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y normalmente escrita como c_q(n), se define como

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{a=1 \atop (a,q)=1}^{q}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},}$

donde n y q son los dos enteros positivos que definen la suma; (a,q)=1 indica que a solo puede tomar valores cuyo máximo común divisor con respecto a q sea 1 (es decir, que a y q sean coprimos entre sí); y e^(x) es la función exponencial.

Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, por ejemplo,

c_q(n)c_r(n)=c_qr(n)

para cualquier (q,r) = 1.

Otra propiedad es que c_q(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real.

Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente identidad:

${\displaystyle c_{q}(n)=\mu (q/d){\frac {\phi (q)}{\phi (q/d)}}.}$

Series relacionadas con la suma de Ramanujan

Ramanujan evaluó infinitas series de la forma

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)}$

para diversas secuencias (a_q).^[1]​ En particular, para s cualquier número real mayor o igual que 1, encontró que las series de Dirichlet cumplían que:

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}(n)}{\zeta (s)}},}$

donde σ es la función divisor y ζ la función zeta de Riemann. En los casos s = 1 y s = 2 esto es

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q}}=0}$

y

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{2}}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}{\frac {\sigma _{1}(n)}{n}}}$

respectivamente.

Otras identitidades obtenidas por Ramanujan son

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q}}\log(q)=-\sigma _{0}(n)}$

y

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }(-1)^{q-1}{\frac {c_{2q-1}(n)}{2q-1}}=r_{2}(n),}$

donde r₂(n) son el número de representaciones de n como x² + y² en enteros x e y.

Referencias