Teorema de Zsigmondy

En teoría de números , el teorema de Zsigmondy, llamado así por Karl Zsigmondy, establece que si a > b > 0 son enteros coprimos, entonces para cualquier entero n ≥ 1, hay un número primo p (llamado divisor primo primitivo) que divide aⁿ - bⁿ y no divide a^k-b^k por ningún entero positivo k<n, con las siguientes excepciones:

• n = 1, a − b = 1; entonces aⁿ − bⁿ = 1 que no tiene divisores primos
• n = 2, a + b una potencia de dos; entonces cualquier factor primo impar de a² - b² = (a + b)(a¹ - b¹) debe estar contenido en a¹ - b¹, que también es par
• n = 6, a = 2, b = 1; entonces a⁶ − b⁶ = 63 = 3²×7 = (a² − b²)²(a³ − b³)

Esto generaliza el teorema de Bang,^[1]​ que establece que si n > 1 y n no es igual a 6, entonces 2ⁿ − 1 tiene un divisor primo que no divide ningún 2^k − 1 con k < n.

De manera similar, aⁿ + bⁿ tiene al menos un divisor primo primitivo con la excepción de 2³ + 1³ = 9.

El teorema de Zsigmondy es a menudo útil, especialmente en la teoría de grupos, donde se usa para demostrar que varios grupos tienen órdenes distintos, excepto cuando se sabe que son iguales.^[2]​^[3]​

Historia

El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.

Generalizaciones

Sea ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ una secuencia de enteros distintos de cero. El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjunto

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:a_{n}{\text{ no tiene divisores primos primitivos}}\}.}$

es decir, el conjunto de índices ${\displaystyle n}$ tal que cada primo dividiendo ${\displaystyle a_{n}}$también divide algunos ${\displaystyle a_{m}}$ para algunos ${\displaystyle m<n}$. Por tanto, el teorema de Zsigmondy implica que ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}}$, y el teorema de Carmichael dice que el conjunto Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci es ${\displaystyle \{1,2,6,12\}}$, y el de la secuencia de Pell es ${\displaystyle \{1\}}$. En 2001 Bilu, Hanrot y Voutier^[4]​ demostraron que, en general, si ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ es una sucesión de Lucas o una sucesión de Lehmer, entonces ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})\subseteq \{1\leq n\leq 30\}}$ (ver OEIS: A285314,^[5]​ solo hay 13 ${\displaystyle n}$, a saber 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad.

También se sabe que si ${\displaystyle (W_{n})_{n\geq 1}}$ es una secuencia de divisibilidad elíptica, entonces su conjunto Zsigmondy ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$ es finito.^[6]​ Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$, aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$.^[7]​

Véase también

• Teorema de Carmichael

Referencias

Bibliografía

• Zsigmondy, K. (1 de diciembre de 1892). «Zur Theorie der Potenzreste». Monatshefte für Mathematik und Physik (en alemán) 3 (1): 265-284. ISSN 1436-5081. doi:10.1007/BF01692444. Consultado el 8 de abril de 2021. 
• Kothe, Jochen. «DigiZeitschriften: Seitenansicht». www.digizeitschriften.de (en alemán). Consultado el 8 de abril de 2021. 
• Roitman, Moshe (1997). «On Zsigmondy primes». Proceedings of the American Mathematical Society (en inglés) 125 (7): 1913-1919. ISSN 0002-9939. doi:10.1090/S0002-9939-97-03981-6. Consultado el 8 de abril de 2021. 
• Feit, Walter (1 de enero de 1988). «On large Zsigmondy primes». Proceedings of the American Mathematical Society (en inglés) 102 (1): 29-29. ISSN 0002-9939. doi:10.1090/S0002-9939-1988-0915710-1. Consultado el 8 de abril de 2021. 
• Everest, Graham (2003). Recurrence sequences. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3387-1. OCLC 52165737. Consultado el 8 de abril de 2021. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Zsigmondy Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.