Topología inicial

En topología general, la topología inicial en un conjunto X {\displaystyle X} con respecto a una familia de aplicaciones de X {\displaystyle X} en espacios topológicos es la topología menos fina en X {\displaystyle X} que hace que todas esas aplicaciones sean continuas.

La noción dual es la topología final, que para una familia dada de aplicaciones de espacios topológicos en un conjunto X {\displaystyle X} es la topología más fina en X {\displaystyle X} que hace que esas aplicaciones sean continuas.

Definición

Topología inicial

Sea X {\displaystyle X} un conjunto no vacío, { ( Y i , T i ) } i ∈ I {\displaystyle \{\left(Y_{i},{\mathcal {T}}_{i}\right)\}_{i\in I}} una familia arbitraria de espacios topológicos y F = { f i : X → Y i : i ∈ I } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y_{i}\,:i\in I\}} una familia de aplicaciones.

Se define la topología inicial en X {\displaystyle X} inducida por la familia de aplicaciones F {\displaystyle {\mathcal {F}}} como la que tiene como subbase la familia de subconjuntos:

S = { f i − 1 ( U i ) : U i ∈ T i , i ∈ I } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{f_{i}^{-1}(U_{i}):U_{i}\in {\mathcal {T}}_{i},i\in I\}}

Por construcción, la topología inicial T ( S ) {\displaystyle {\mathcal {T}}({\mathcal {S}})} es la topología menos fina en X {\displaystyle X} tal que f i : ( X , T ( S ) ) → ( Y i , T i ) {\displaystyle f_{i}:(X,{\mathcal {T}}({\mathcal {S}}))\to (Y_{i},{\mathcal {T}}_{i})} es continua para todo i ∈ I {\displaystyle i\in I} .

Ejemplos

  • La topología inducida en un subconjunto es la topología inicial con respecto a la inclusión.
  • La topología producto es la topología inicial con respecto a las proyecciones.

Bibliografía

  • Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6. (requiere registro).