Batez besteko balioaren teorema

Kalkuluan, batez besteko balioaren teoremak esaten duena zera da: [a,b] tartean jarraitua eta definitua eta (a,b) tartean diferentziagarria den funtzio baten existituko da c puntua, zeinetan c puntuko zuzen tangentea (a,f(a))tik (b,f(b))ra doan zuzen sekantearen paraleloa izango baita.

${\displaystyle {f(x):}\left.{\begin{matrix}\in \left[a,b\right],&{\mbox{jarraitua}}\\\in \left(a,b\right),&{\mbox{diferentziagarria}}\end{matrix}}\right\}{\Rightarrow }\exists {c}{\in (a,b)}{\big |}{}{f(b)-f(a)}={f'(c)(b-a)}}$

Teorema hau Joseph-Louis Lagrangek proposatu zuen. Askotan Lagrangeren teorema edo Bonnet-Lagrangeren teorema izaten da deitua. Garrantzi handiko teorema da hau, problemak ebazteko balio handirik ez duen arren, beste teorema asko frogatzeko guztiz erabilgarria baita.

Orokorpena

Teorema hau, teorema garrantzitsu askorekin gertatzen den bezala, beste baten orokorpena da, Rolleren teoremarena alegia. Teorema horrek esaten duena antzekoa da baina ez berdina. Funtzio batek (goian definitutako tarte batean) bi puntutan balio berdinak baditu bien artean deribatuaren balioa 0 eukiko duen puntu bat, gutxienez, egongo da.

${\displaystyle {f(x):}\left.{\begin{matrix}\in \left[a,b\right],&{\mbox{jarraitua}}\\\in \left(a,b\right),&{\mbox{diferentziagarria}}\\\ f(a)=f(b),&{\mbox{betetzen bada}}\end{matrix}}\right\}{\Rightarrow }\exists {c}{\in (a,b)}{\big |}{}f'(c)=0}$

Jatorria

Lagrangeren Teorema, gainera, Cauchy-ren BBBT-ren (Bataz Besteko Balioen Teorema) kasu konkretu bat da. Teorema honek honela dio:

${\displaystyle f(),g():{\begin{cases}[a,b]&{\text{jarraitua}}\\(a,b)&{\text{deribagarria}}\end{cases}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists c\in (a,b):(f(b)-f(a))g'(c)=f'(c)(g(b)-g(a))}$ (dena ${\displaystyle \neq 0}$ bada)${\displaystyle \Rightarrow {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$

Teorema hau g(x)=x funtzioari aplikatzearen ondorioa da Lagrangeren teorema.

Kanpo estekak

• Datuak: Q189136
• Multimedia: Mean value theorem / Q189136