Plano

Geometrian, planoaren ekuazioak hiru dimentsioko espazioan plano bat osatzen duten puntu guztiak ditu soluzio. Adibidez x+y+z-6=0 planoko soluzio guztiak (besteak beste, (x=2,y=2,z=2), (x=3, y=2, z=1), (x=4, y=1, z=1)) hiru ardatzeko diagrama kartesiar irudikatzen badira, plano bat sortuko da.

Plano bat zenbait eratara finka daiteke:

• kolinealak edo zuzen berekoak ez diren hiru puntu emanez;
• puntu bat eta planoarekiko normal edo elkarzuta izango den bektore baten bitartez;
• puntu bat eta planoaren norabidea emango duten bi bektore zuzentzaile eta elkarrekiko independente emanez.

Ekuazio bektoriala

Planoko hiru puntuak ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}),(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\,}$ izanik, planoa osatzeko behar diren bi bektore zuzentzaileak honela eman daitezke:

${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},u_{3})=(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})\,}$

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})=(x_{2}-x_{0},y_{2}-y_{0},z_{2}-z_{0})\,}$

Horrela, hau izango da planoaren ekuazio bektoriala:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} =(x,y,z)&=\mathbf {x} _{0}+\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v} =\\&=(x_{0},y_{0}+z_{0})+\lambda (x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})+\mu (x_{2}-x_{0},y_{2}-y_{0},z_{2}-z_{0}).\end{aligned}}}$

Planoko puntuak ${\displaystyle \lambda ,\ \mu \,}$ parametroei edozein balio erreal emanez sortzen dira.

Ekuazio parametrikoak

Ekuazio bektoriala deskonposatuz eratzen dira ekuazio parametrikoak:

${\displaystyle x=x_{0}+\lambda (x_{1}-x_{0})+\mu (x_{2}-x_{0})\,}$

${\displaystyle y=y_{0}+\lambda (y_{1}-y_{0})+\mu (y_{2}-y_{0})\,}$

${\displaystyle z=z_{0}+\lambda (z_{1}-z_{0})+\mu (z_{2}-z_{0})\,}$

Ekuazio bektorialean bezala, ${\displaystyle \lambda ,\ \mu \,}$ parametroei edozein balio erreal emanez, planoko (x,y,z) puntuak sortuko dira.

Ekuazio orokorra

Ekuazio bektorialetik abiatuz, hau betetzen denez:

${\displaystyle \mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}=\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v} \,}$,

honako determinante honetan lehenengo zutabea bigarren zutabearen eta hirugarren zutabearen konbinazio lineala denez, determinantearen balioa 0 da:

${\displaystyle \left|{\begin{array}{ccc}x-x_{0}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y-y_{o}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z-z_{0}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\\\end{array}}\right|=0.}$

Determinantea garatuz eta 0 baliora berdinduz, ekuazio orokor, kartesiar edo inplizitua lortzen da:

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\,}$

Planoko ${\displaystyle (x,y,z)\,}$ puntu bat ${\displaystyle x,y\,}$ aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren ${\displaystyle z\,}$ balioa bakanduz lortuko da.

Ekuazio normala

Bitez ${\displaystyle \mathbf {P} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})\,}$ planoko puntu bat eta ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)\,}$ planoarekiko normala edo elkarzuta den bektore bat. Orduan, ${\displaystyle \mathbf {P} =(x,y,z)\,}$ planoko edozein punturentzat hau betetzen da:

${\displaystyle {\vec {PP_{0}}}\mathbf {n} =0\,}$

Garatuz, planoaren ekuazio normala lortzen da:

${\displaystyle \mathbf {n} {\vec {PP_{0}}}=a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=ax+by+cz+d=0\,,}$

non ${\displaystyle d=-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}\,}$.

Planoko ${\displaystyle (x,y,z)\,}$ puntu bat ${\displaystyle x,y\,}$ aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren ${\displaystyle z\,}$ balioa bakanduz lortuko da.

Beraz, ekuazio orokorrarekin alderatuz, ekuazio okorreko ${\displaystyle A,B,C\,}$ parametroek planoarekiko normala den bektore bat osatzen dute.

Ariketak

• Plano
• Puntu batetik plano batera dagoen distantzia kalkulatzeko ariketa.
• Plano bat eta zuzen bat paraleloak diren jakiteko ariketa.
• Bi puntutatik pasatzea zuzen bat eta plano baten paraleloa izatea.

Ikus gainera

• Plano inklinatua

Kanpo estekak

• Datuak: Q17285
• Multimedia: Euclidean planes / Q17285