Dedekindin leikkaus

Dedekindin leikkaus on matematiikassa sellainen kokonaan järjestetyn joukon jako kahteen epätyhjään joukkoon A ja B, että A:n jokainen alkio on pienempi kuin B:n jokainen alkio eikä joukossa A ole suurinta alkiota. Dedekindin leikkaus on saanut nimensä saksalaisen matemaatikon Richard Dedekindin mukaan, joka konstruoi reaaliluvut rationaalilukujen leikkauksien avulla.^[1]

Rationaalilukujen joukossa Dedekindin leikkauksia on sikäli kahdenlaisia, että joukolla B saattaa olla pienin alkio, mutta ei välttämättä ole. Esimerkiksi jos muodostetaan Dedekindin leikkaus, jossa

${\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} |a<2\}}$ ja

${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} |b\geq 2\}}$,

joukolla B on pienin alkio, nimittäin luku 2. Tässä leikkauksessa joukkoon A kuuluvat kaikki rationaaliluvut, jotka ovat pienempiä kuin 2, joukkoon B luku 2 ja kaikki sitä suuremmat rationaaliluvut. Sen sijaan Dedekindin leikkauksessa, jossa

${\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} |a^{2}<2\lor a<0\}}$ ja

${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} |b^{2}\geq 2\land b>0\}}$

joukolla B ei ole pienintä alkiota. Reaalilukujen joukko voidaan muodollisesti konstruoida asettamalla jokaista tällaista Dedekindin leikkausta vastaamaan uusi luku, jollaisia sanotaan irrationaaliluvuiksi. Edellä mainitussa esimerkissä tämä luku on ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.