Kasautumispiste

Topologiassa avaruuden X kasautumispisteellä tarkoitetaan sellaista pistettä, jonka jokaisessa ympäristössä on jokin toinen X:n piste. Formaalisti x on X:n kasaantumispiste, jos x:n ympäristöille U pätee ${\displaystyle \forall U\subset X\exists x'\in X}$ siten, että ${\displaystyle x'\in X\setminus \{x\}}$.

Kasautumispiste voidaan määritellä myös toisella tapaa. Olkoon A ${\displaystyle \subset X}$. Piste ${\displaystyle x\in X}$ on A:n kasautumispiste, jos jokaisessa x:n ympäristössä U on ääretön määrä A:n pisteitä. Tähän riittää se, että jokaisessa x:n ympäristössä on jokin A:n piste y ja y ei ole piste x.

Joukon A kasautumispiste voi joko kuulua A:han tai olla siihen kuulumatta. Kasautumispiste kuuluu aina joukon sulkeumaan.

• Määritellään joukko ${\displaystyle X=\{a,b,c,d,e\}}$ ja tälle topologia ${\displaystyle \{X,\emptyset ,\{a\},\{c,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d,e\}\}}$. Osajoukon ${\displaystyle {a,b,c}}$ kasautumispisteet ovat ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle d}$ ja ${\displaystyle e}$.
• [0,2[:n kasaantumispisteiden joukko on [0,2].
• Kokonaislukujen joukolla ei ole kasautumispistettä.
• Kokonaislukujen käänteislukujen 1/n (${\displaystyle n\in N}$) kasautumispiste on 0, sillä jokainen avoin väli ]${\displaystyle -\epsilon ,\epsilon }$[ sisältää kaikkien riittävän suurten kokonaislukujen käänteisluvut.

• Kosketuspiste

• Väisälä, Jussi: Topologia I. Limes, 2001. ISBN 951-745-192-X.
• Väisälä, Jussi: Topologia II. Limes, 1999. ISBN 951-745-185-7.

• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2.