Liitännäisyys

Liitännäisyys eli assosiatiivisuus tarkoittaa laskutoimituksen riippumattomuutta sitomisjärjestyksestä. Mielivaltainen laskutoimitus ${\displaystyle \circ }$ on liitännäinen, jos

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$

pitää paikkansa kaikille ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ja ${\displaystyle c}$. Tätä ominaisuutta kutsutaan myös termillä liitäntälaki.^[1]

Esimerkiksi kokonaislukujen ja myös reaalilukujen yhteen- ja kertolasku ovat liitännäisiä laskutoimituksia, koska (a+b) + c = a + (b+c) ja (a·b) · c = a · (b·c) kaikilla luvuilla a, b ja c. Sitä vastoin vähennys- ja jakolaskuille ei liitäntälaki päde.

Matriisien kertolasku on liitännäinen muttei vaihdannainen. Vektorien ristitulo ei ole vaihdannainen eikä liitännäinen.

Propositiologiikan JA- ja TAI-konnektiivit ovat liitännäisiä: ${\displaystyle a\land (b\land c)=(a\land b)\land c}$, ja ${\displaystyle a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c}$. Esimerkiksi JA-konnektiivin liitännäisyys nähdään seuraavasti:

${\displaystyle (a\land b)\land c=1}$ tarkalleen silloin kun ${\displaystyle a\land b=1}$ ja ${\displaystyle c=1_{\mathbf {} }}$, mikä taas tarkoittaa sitä, että niin ${\displaystyle a=1_{\mathbf {} }}$ kuin ${\displaystyle b=1_{\mathbf {} }}$ ja vielä edelleen ${\displaystyle c=1_{\mathbf {} }}$, eli kaikkien kolmen arvona on oltava ${\displaystyle 1_{\mathbf {} }}$. Vastaavasti ${\displaystyle a\land (b\land c)=1}$ todetaan olevan voimassa tarkalleen silloin, kun kaikkien kolmen arvona on ${\displaystyle 1_{\mathbf {} }}$. Siis molemmat laskujärjestykset tuottavat arvon ${\displaystyle 1_{\mathbf {} }}$ tarkalleen silloin, jos kaikkien kolmen muuttujan arvona on ${\displaystyle 1_{\mathbf {} }}$, ja muussa tapauksessa molemmat laskujärjestykset tuottavat arvon ${\displaystyle 0_{\mathbf {} }}$.

Funktioiden yhdistely on liitännäinen: ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$.

Liitännäisyyden takia laskutoimitusten järjestystä ei tarvitse sitoa sulkumerkein, sillä kaikki mahdolliset järjestykset johtaisivat lopulta samaan lopputulokseen, ja siksi kirjallisuudessa jätetään yleensä sulut merkitsemättä tällaisissa tilanteissa. Esimerkiksi

${\displaystyle a\circ b\circ b\circ c}$

voi tarkoittaa laskutoimitusten suorittamista vaikka järjestyksessä

${\displaystyle (a\circ (b\circ b))\circ c}$ tai ${\displaystyle (a\circ b)\circ (b\circ c)}$,

mutta "oikealla" tavalla ei ole merkitystä, sillä lopputulos on sama. Tästä konkreettiseksi esimerkiksi käy yllä kuvatun laskun suorittaminen kokonaislukujen kertolaskuina niin, että

${\displaystyle (3\cdot (2\cdot 2))\cdot 7=(3\cdot 4)\cdot 7=12\cdot 7=84=6\cdot 14=(3\cdot 2)\cdot 14=(3\cdot 2)\cdot (2\cdot 7)}$.

• Osittelulaki
• Vaihdannaisuus.

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.