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Un[N 1] système de coordonnées cylindriques est un système de coordonnées curvilignesorthogonales[2] qui généralise à l'espace celui des coordonnées polaires du plan[3] en y ajoutant une troisième coordonnée, généralement notée z, qui mesure la hauteur d'un point par rapport au plan repéré par les coordonnées polaires (de la même manière que l'on étend le système de coordonnées cartésiennes de deux à trois dimensions).
Les coordonnées cylindriques servent à indiquer la position d'un point dans l'espace. Les coordonnées cylindriques ne servent pas pour les vecteurs. Lorsqu'on utilise les coordonnées cylindriques pour repérer les points, les vecteurs, eux, sont généralement repérés dans un repère vectoriel propre au point où ils s'appliquent : .
Conversion entre système cartésien et cylindrique
À partir des coordonnées cartésiennes , on peut obtenir les coordonnées cylindriques (généralement dénommées respectivement rayon ou module, azimut et cote) grâce aux formules suivantes :
Les formules ci-dessus conviennent mais l'angle θ n'est pas défini de manière unique. En particulier tous les angles égaux modulo 2π sont équivalents. De plus, lorsque x=y=0, n'importe quel angle convient.
On peut également convertir les coordonnées cylindriques en coordonnées cartésiennes grâce aux formules suivantes :
Les éléments de surface infinitésimaux s'écrivent :
Cinématique
Les coordonnées cylindriques sont notamment utilisées dans de nombreux problèmes de mécanique où l'on considère un objet dans un repère tournant. On peut alors avoir besoin des relations concernant la vitesse et l'accélération.
En un point le vecteur unitaire radial et le vecteur unitaire orthoradial sont respectivement :
où est la base cartésienne (voir figure).
On notera , et .
Alors :
On remarquera déjà que les quantités cinématiques, position, vitesse, accélération sont données par :
Il est à noter que l'on peut retrouver ces résultats de la manière suivante :
etc.
Notes et références
Notes
↑Il n'y a pas d'unicité des coordonnées cylindriques dans l'espèce[1].
Représentation d'un point dans l'espace, sur Wikiversity
Bibliographie
[Bert 2019] (en + fr) Jacques Bert, Lexique scientifique anglais-français : 25 000 entrées, Malakoff, Dunod, hors coll., , 5e éd. (1re éd. ), 1 vol., VI-362, 14,1 × 22 cm (ISBN978-2-10-079360-0, EAN 9782100793600, OCLC1101087170, BNF45725288, SUDOC235716839, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.cylindric(al).
[Denizet 2008] Frédéric Denizet, Algèbre et géométrie : MPSI, Paris, Nathan, coll. « Classe prépa. / 1er année », , 1re éd., 1 vol., 501, ill. et fig., 18,5 × 24,5 cm (ISBN978-2-09-160506-7, EAN 9782091605067, OCLC470844518, BNF41328429, SUDOC125304048, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 3, sect. 1, ss-sect. 1.2 (« Coordonnées cylindriques »), p. 69-70.
[El Jaouhari 2017] Noureddine El Jaouhari, Calcul différentiel et calcul intégral, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. / Mathématiques », , 1re éd., 1 vol., IX-355, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN978-2-10-076162-3, EAN9782100761623, OCLC987791661, BNF45214549, SUDOC200872346, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 4, sect. 2, § 2.1 (« Coordonnées cylindriques »), p. 80-82.
[Gautron et al. 2015] Laurent Gautron (dir.), Christophe Balland, Laurent Cirio, Richard Mauduit, Odile Picon et Éric Wenner, Physique, Paris, Dunod, coll. « Tout le cours en fiches », , 1re éd., 1 vol., XIV-570, ill. et fig., 19,3 × 25 cm (ISBN978-2-10-072407-9, EAN9782100724079, OCLC913572977, BNF44393230, SUDOC187110271, présentation en ligne, lire en ligne), fiche no 2, § 2 (« Les coordonnées cylindriques »), p. 4-5.
[Noirot, Parisot et Brouillet 2019] Yves Noirot, Jean-Paul Parisot et Nathalie Brouillet (préf. de Michel Combarnous), Mathématiques pour la physique, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. », (réimpr. ), 1re éd., 1 vol., X-229, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN978-2-10-080288-3, EAN9782100802883, OCLC492916073, BNF36178052, SUDOC241085152, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 3, sect. 1, ss-sect. 1.2, § 1.2.3 (« Exemple de coordonnées curvilignes : coordonnées cylindriques »), p. 86-27.
[Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., , 4e éd. (1re éd. ), 1 vol., X-956, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN978-2-8073-0744-5, EAN9782807307445, OCLC1022951339, BNF45646901, SUDOC224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.coordonnées cylindriques, p. 159.