Extension de groupes

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En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, une extension de groupes est une manière de décrire un groupe en termes de deux groupes « plus petits ». Plus précisément, une extension d'un groupe Q par un groupe N est un groupe G qui s'insère dans une suite exacte courte

1 → N → G → Q → 1 {\displaystyle 1\to N\to G\to Q\to 1} .

Autrement dit : G est une extension de Q par N[1] si (à isomorphismes près) N est un sous-groupe normal de G et Q est le groupe quotient G/N.

Notions associées

  • L'extension est dite centrale si N est inclus dans le centre de G.
  • L'extension triviale de Q par N est celle qui correspond au produit direct N×Q.
  • Une scission de l'extension
    1 → N → i G → p Q → 1 {\displaystyle 1{\xrightarrow {}}N{\xrightarrow {i}}G{\xrightarrow {p}}Q{\xrightarrow {}}1}
    est un morphisme
    s : Q → G tel que p ∘ s = i d Q . {\displaystyle s:Q\to G\quad {\text{tel que}}\quad p\circ s=\mathrm {id} _{Q}.}
    L'extension est alors dite scindée. Les extensions scindées de Q par N sont celles qui correspondent aux produits semi-directs N ⋊ Q {\displaystyle N\rtimes Q} . Les groupes Q dont toutes les extensions sont scindées sont les groupes libres[2].
  • Un morphisme d'extensions
    de 1 → N → i G → p Q → 1 dans 1 → N → i ′ G ′ → p ′ Q → 1 {\displaystyle {\text{de}}\quad 1{\xrightarrow {}}N{\xrightarrow {i}}G{\xrightarrow {p}}Q{\xrightarrow {}}1\quad {\text{dans}}\quad 1{\xrightarrow {}}N{\xrightarrow {i'}}G'{\xrightarrow {p'}}Q{\xrightarrow {}}1}
    est un morphisme
    φ : G → G ′ {\displaystyle \varphi :G\to G'}
    tel que le diagramme associé
    G ↗ i ↘ p N ↓ φ Q ↘ i ′ ↗ p ′ G ′ {\displaystyle {\begin{matrix}&&&G&&&\\&&{\overset {i}{\nearrow }}&&{\overset {p}{\searrow }}&&\\N&&&\downarrow ^{\varphi }&&&Q\\&&{\underset {i'}{\searrow }}&&{\underset {p'}{\nearrow }}&&\\&&&G'&&&\end{matrix}}}
    commute, c'est-à-dire tel que
    φ ∘ i = i ′ et p ′ ∘ φ = p . {\displaystyle \varphi \circ i=i'\quad {\text{et}}\quad p'\circ \varphi =p.}
    D'après le lemme des cinq court (en), un tel morphisme φ {\displaystyle \varphi } est toujours un isomorphisme.

Notes et références

  1. ↑ C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans :
    • N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6,
    • (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, (lire en ligne), p. 66 et
    • (de) Otto Schreier, « Über die Erweiterung von Gruppen I », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 34,‎ , p. 165-180.
    Mais d'autres auteurs choisissent la convention inverse, en écrivant qu'alors, G est une extension de N par Q :
    • Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;
    • (en) William R. Scott, Group Theory, Dover, (1re éd. 1964) (lire en ligne), p. 210 ;
    • (en) John S. Rose, A Course on Group Theory, Dover, 1994 (réimpr.), p. 202 ;
    • (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1999 (tirage corrigé), 4e éd. [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 154 et
    • (en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (no 80), , 2e éd. (lire en ligne), p. 68.
    Isaacs (2008), p. 66, souligne que les deux conventions coexistent.
  2. ↑ (en) Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (no 80), (lire en ligne), p. 312, exercice 11.1.3.

Articles connexes

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