Fonction de Bessel sphérique

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Les trois premières fonctions de Bessel sphérique de première espèce jn(x)
Les trois premières fonctions de Bessel sphérique de deuxième espèce yn(x)

En analyse, les fonctions de Bessel sphériques sont des fonctions spéciales construites à partir des fonctions de Bessel classiques et qui interviennent dans certains problèmes possédant une symétrie sphérique.

Elles sont définies par :

j n ( x ) = π 2 x J n + 1 2 ( x ) , {\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\pi \over 2x}}J_{n+{1 \over 2}}(x),}
y n ( x ) = π 2 x Y n + 1 2 ( x ) = ( − 1 ) n + 1 π 2 x J − n − 1 2 ( x ) . {\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\pi \over 2x}}Y_{n+{1 \over 2}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\pi \over 2x}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).}

En particulier, j 0 {\displaystyle j_{0}} correspond à la fonction sinus cardinal :

j 0 ( x ) = s i n c ( x ) = sin ⁡ ( x ) x . {\displaystyle j_{0}(x)={\rm {sinc}}(x)={\sin(x) \over x}.}

On peut également définir, sur le même principe, les fonctions de Hankel sphériques :

h n ( 1 ) ( x ) = π 2 x H n + 1 2 ( 1 ) ( x ) = j n ( x ) + i y n ( x ) , {\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\pi \over 2x}}H_{n+{1 \over 2}}^{(1)}(x)=j_{n}(x)+{\rm {i}}y_{n}(x),}
h n ( 2 ) ( x ) = π 2 x H n + 1 2 ( 2 ) ( x ) = j n ( x ) − i y n ( x ) . {\displaystyle h_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\pi \over 2x}}H_{n+{1 \over 2}}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-{\rm {i}}y_{n}(x).}

Propriétés

On peut définir les fonctions de Bessel sphériques par la formule de Rayleigh :

j n ( x ) = ( − x ) n ( 1 x d d x ) n sin ⁡ ( x ) x , {\displaystyle j_{n}(x)=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}{\sin(x) \over x},}
y n ( x ) = − ( − x ) n ( 1 x d d x ) n cos ⁡ ( x ) x . {\displaystyle y_{n}(x)=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}{\cos(x) \over x}.}

Les fonctions génératrices des fonctions de Bessel sphériques sont :

∑ n = 0 + ∞ t n n ! j n − 1 ( x ) = cos ⁡ ( x 2 − 2 x t ) x , {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(x)={\frac {\cos({\sqrt {x^{2}-2xt}})}{x}},}
∑ n = 0 + ∞ ( − t ) n n ! y n − 1 ( x ) = sin ⁡ ( x 2 + 2 x t ) x . {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-t)^{n}}{n!}}y_{n-1}(x)={\frac {\sin({\sqrt {x^{2}+2xt}})}{x}}.}

Ces fonctions sont les solutions de la partie radiale de l'équation de Helmholtz en coordonnées sphériques, obtenue par séparation des variables :

x 2 d 2 y d x 2 + 2 x d y d x + ( x 2 − n ( n + 1 ) ) y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+2x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+(x^{2}-n(n+1))y=0.}

Articles connexes

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Spherical Bessel Function of the First Kind », sur MathWorld
  • (en) Eric W. Weisstein, « Spherical Bessel Function of the Second Kind », sur MathWorld
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