L-théorie algébrique

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En mathématiques, la « L-théorie algébrique » est l'équivalent de la K -théorie pour des formes quadratiques. Le terme a été inventé par C. T. C. Wall, qui a utilisé L car c'était la lettre après le K . La théorie L algébrique, également connue sous le nom de « théorie K hermitienne », est importante dans la théorie de la chirurgie^[1].

Définition

On peut définir des L -groupes pour tout anneau d'involution R : les L -groupes quadratiques ${\displaystyle L_{*}(R)}$ (Wall) et les L -groupes symétriques ${\displaystyle L^{*}(R)}$ (Mishchenko, Ranicki).

Dimension paire

Les L-groupes de dimension paire ${\displaystyle L_{2k}(R)}$ sont définis comme les groupes de Witt de formes ε-quadratiques sur l'anneau R avec ${\displaystyle \epsilon =(-1)^{k}}$ . Plus précisément, ${\displaystyle L_{2k}(R)}$ est le groupe abélien de classes d'équivalence ${\displaystyle [\psi ]}$ et de formes ε-quadratiques non dégénérées ${\displaystyle \psi \in Q_{\epsilon }(F)}$ sur R, où les R-modules F sous-jacents sont libres de génération finie. La relation d'équivalence est donnée par stabilisation par rapport aux formes ε-quadratiques hyperboliques :

${\displaystyle [\psi ]=[\psi ']\Longleftrightarrow n,n'\in {\mathbb {N} }_{0}:\psi \oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n}\cong \psi '\oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n'}}$ .

L'addition dans ${\displaystyle L_{2k}(R)}$ est défini par

${\displaystyle [\psi _{1}]+[\psi _{2}]:=[\psi _{1}\oplus \psi _{2}].}$

L'élément zéro est représenté par ${\displaystyle H_{(-1)^{k}}(R)^{n}}$ pour tout ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }_{0}}$ . L'inverse de ${\displaystyle [\psi ]}$ est ${\displaystyle [-\psi ]}$ .

Dimension impaire

La définition des L-groupes de dimension impaire est plus compliquée ; de plus amples détails et la définition des L-groupes de dimension impaire peuvent être trouvés dans les références mentionnées ci-dessous.

Exemples et applications

Les L -groupes d'un groupe ${\displaystyle \pi }$ sont les L-groupes ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ de l'anneau ${\displaystyle \mathbf {Z} [\pi ]}$ . Dans les applications à la topologie, ${\displaystyle \pi }$ est le groupe fondamental ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ d'un espace ${\displaystyle X}$ . Les L -groupes quadratiques ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ jouent un rôle central dans la classification chirurgicale des types d'homotopie ${\displaystyle n}$ -variétés dimensionnelles de dimension ${\displaystyle n>4}$, et dans la formulation de la conjecture de Novikov.

La distinction entre les L-groupes symétriques et les L-groupes quadratiques, indiquée par des indices supérieurs et inférieurs, reflète l'utilisation dans l'homologie et la cohomologie de groupe. La cohomologie de groupe ${\displaystyle H^{*}}$ du groupe cyclique ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ traite des points fixes d'une action ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$, tandis que l'homologie de groupe ${\displaystyle H_{*}}$ traite des orbites d'une action ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$, compare ${\displaystyle X^{G}}$ (points fixes) et ${\displaystyle X_{G}=X/G}$ (orbites, quotient) pour la notation d'index supérieur/inférieur.

Les L -groupes quadratiques : ${\displaystyle L_{n}(R)}$ et les L -groupes symétriques : ${\displaystyle L^{n}(R)}$ sont liés par une carte de symétrisation ${\displaystyle L_{n}(R)\to L^{n}(R)}$ qui est un isomorphisme modulo 2-torsion, et qui correspond aux identités de polarisation.

Les L-groupes quadratiques et symétriques sont quadratiques périodiques (le commentaire de Ranicki, page 12, sur la non-périodicité des L-groupes symétriques fait référence à un autre type de L-groupes, défini à l'aide de "complexes courts").

Compte tenu des applications à la classification des variétés, il existe des calculs approfondis des ${\displaystyle L}$ -groupes quadratiques ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ . Pour des ${\displaystyle \pi }$ finis, des méthodes algébriques sont utilisées; pour des ${\displaystyle \pi }$ infinis, on utilise principalement des méthodes géométriques (par exemple la topologie contrôlée).

Plus généralement, on peut définir des L -groupes pour toute catégorie additive avec une dualité de chaîne, comme dans Ranicki (section 1).

Entiers

Les L -groupes simplement connectés sont aussi les L -groupes des entiers, comme ${\displaystyle L(e):=L(\mathbf {Z} [e])=L(\mathbf {Z} )}$ pour ${\displaystyle L}$ = ${\displaystyle L^{*}}$ ou ${\displaystyle L_{*}.}$ Pour les L-groupes quadratiques, ce sont les obstacles chirurgicaux à la chirurgie simplement connexe.

Les L -groupes quadratiques des entiers sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}/8\\L_{4k+1}(\mathbf {Z} )&=0\\L_{4k+2}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{Arf invariant}}\\L_{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}}$

En dimension pairement paire (4 k ), les L -groupes quadratiques détectent la signature ; en dimension simplement paire (4 k +2), les L -groupes détectent l' invariant Arf (topologiquement l' invariant de Kervaire ).

Les L -groupes symétriques des entiers sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}\\L^{4k+1}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{de Rham invariant}}\\L^{4k+2}(\mathbf {Z} )&=0\\L^{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}}$

En dimension pairement paire (4 k ), les L -groupes symétriques, comme les L -groupes quadratiques, détectent la signature ; en dimension (4 k +1), les L -groupes détectent l' invariant de de Rham.

Références

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