Matrice de Householder

En algèbre linéaire, la matrice de Householder associée à un vecteur non nul v ∈ R n {\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}} est la matrice définie par :

H v = I n − 2 v v T ‖ v ‖ 2 {\displaystyle H_{v}=I_{n}-2{\frac {vv^{T}}{\|v\|^{2}}}}

où In est la matrice identité de taille n.

Dans la suite, ∀ x , y ∈ R n , x ⋅ y = ⟨ x ⋅ y ⟩ {\displaystyle \forall x,y\in {R}^{n},x\cdot y=\langle x\cdot y\rangle } , le produit scalaire euclidien.

Propriétés

  • H v {\displaystyle H_{v}} est symétrique et orthogonale (donc involutive).
Démonstration

R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} étant muni de sa structure euclidienne canonique et u {\displaystyle u} désignant le vecteur unitaire v ‖ v ‖ {\displaystyle {\frac {v}{\|v\|}}} , on a, pour tout vecteur x,

H v ( x ) = x − 2 ( u ⋅ x ) u   . {\displaystyle H_{v}(x)=x-2(u\cdot x)u~.}

H v {\displaystyle H_{v}} est donc la matrice, dans la base canonique, de la réflexion par rapport à l'hyperplan orthogonal à v. En particulier, c'est la matrice d'une symétrie orthogonale :

H v = H v − 1 = H v T {\displaystyle H_{v}=H_{v}^{-1}=H_{v}^{T}} .

Ainsi, Hv est la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan orthogonal au vecteur v.

  • Si v = a − b ≠ 0 {\displaystyle v=a-b\neq 0} avec ‖ b ‖ = ‖ a ‖ {\displaystyle \|b\|=\|a\|} alors H v ( a ) = b {\displaystyle H_{v}(a)=b} . C'est sur cette propriété que se fondent toutes les applications des matrices de Householder (matrice de Hessenberg, tridiagonalisation ou décomposition QR).
Démonstration

‖ v ‖ 2 = ‖ a ‖ 2 − 2 a ⋅ b + ‖ b ‖ 2 = 2 ( ‖ a ‖ 2 − a ⋅ b ) = 2 v ⋅ a   , {\displaystyle \|v\|^{2}=\|a\|^{2}-2a\cdot b+\|b\|^{2}=2(\|a\|^{2}-a\cdot b)=2v\cdot a~,} donc

H v ( a ) = a − 2 v ⋅ a ‖ v ‖ 2 v = a − v = b   . {\displaystyle H_{v}(a)=a-2{\frac {v\cdot a}{\|v\|^{2}}}v=a-v=b~.}

Applications

Les matrices de Householder sont utilisées pour des algorithmes de factorisation de matrices, comme la factorisation QR.

Article connexe

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Householder Matrix », sur MathWorld
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