Opérations sur les limites

Cette page est une annexe de l'article « Limite (mathématiques élémentaires) », qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition…

Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites.

Articles détaillés : Limite (mathématiques), Limite (mathématiques élémentaires) et Limites de référence.

Opérations algébriques

On considère ici le cas où l'on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la plupart des cas, on peut conclure, mais parfois, une étude supplémentaire est nécessaire, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réel

On peut multiplier une suite u = ( u n ) {\displaystyle u=(u_{n})} ou une fonction f {\displaystyle f} par un réel fixé k {\displaystyle k}  ; on obtient alors :

  • la suite k u = ( ( k u ) n ) {\displaystyle ku=((ku)_{n})} définie par : ∀ n ∈ N , ( k u ) n = k × u n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,(ku)_{n}=k\times u_{n}}  ;
  • la fonction k f {\displaystyle kf} définie par : ∀ x ∈ R , ( k f ) ( x ) = k × f ( x ) {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,(kf)(x)=k\times f(x)} .

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie ℓ {\displaystyle \ell } ou diverge vers ± ∞ {\displaystyle \pm \infty }  :

lim u n {\displaystyle \lim u_{n}} ℓ {\displaystyle \ell } − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty }
lim ( k u ) n {\displaystyle \lim(ku)_{n}} k > 0 {\displaystyle k>0} k ℓ {\displaystyle k\ell } − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty }
k < 0 {\displaystyle k<0} k ℓ {\displaystyle k\ell } + ∞ {\displaystyle +\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty }

On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction f {\displaystyle f} . Nous ne mentionnerons pas le point a {\displaystyle a} , réel ou ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } , en lequel on considère la limite de f {\displaystyle f} , que nous noterons donc simplement lim f {\displaystyle \lim f} . La limite de k f {\displaystyle kf} est :

lim f {\displaystyle \lim f} ℓ {\displaystyle \ell } − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty }
lim k f {\displaystyle \lim kf} k > 0 {\displaystyle k>0} k ℓ {\displaystyle k\ell } − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty }
k < 0 {\displaystyle k<0} k ℓ {\displaystyle k\ell } + ∞ {\displaystyle +\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty }

Somme

On peut additionner deux suites u = ( u n ) {\displaystyle u=(u_{n})} et v = ( v n ) {\displaystyle v=(v_{n})} ou deux fonctions f {\displaystyle f} et g {\displaystyle g}  :

  • la suite u + v {\displaystyle u+v} est définie par : ∀ n ∈ N , ( u + v ) n = u n + v n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,(u+v)_{n}=u_{n}+v_{n}}  ;
  • la fonction f + g {\displaystyle f+g} est définie par : ∀ x ∈ R , ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,(f+g)(x)=f(x)+g(x)} .

On peut donner la limite de la suite u + v {\displaystyle u+v} en fonction des limites respectives des suites u {\displaystyle u} et v {\displaystyle v} (resp. la limite de la fonction f + g {\displaystyle f+g} en un point a {\displaystyle a} , en fonction des limites en a {\displaystyle a} de f {\displaystyle f} et g {\displaystyle g} ). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  lim v {\displaystyle \lim v} (resp. lim g {\displaystyle \lim g} )
ℓ ′ {\displaystyle \ell '} − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty }
lim u {\displaystyle \lim u} (resp. lim f {\displaystyle \lim f} ) ℓ {\displaystyle \ell } ℓ + ℓ ′ {\displaystyle \ell +\ell '} − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty }
− ∞ {\displaystyle -\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty } FI
+ ∞ {\displaystyle +\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty } FI + ∞ {\displaystyle +\infty }

Produit

On peut multiplier deux suites u = ( u n ) {\displaystyle u=(u_{n})} et v = ( v n ) {\displaystyle v=(v_{n})} ou deux fonctions f {\displaystyle f} et g {\displaystyle g}  :

  • la suite u × v {\displaystyle u\times v} est définie par : ∀ n ∈ N , ( u × v ) n = u n × v n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,(u\times v)_{n}=u_{n}\times v_{n}}  ;
  • la fonction f × g {\displaystyle f\times g} est définie par : ∀ x ∈ R , ( f × g ) ( x ) = f ( x ) × g ( x ) {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,(f\times g)(x)=f(x)\times g(x)} .

On peut donner la limite de la suite u × v {\displaystyle u\times v} en fonction des limites respectives des suites u {\displaystyle u} et v {\displaystyle v} (resp. la limite de la fonction f × g {\displaystyle f\times g} en un point a {\displaystyle a} en fonction des limites en a {\displaystyle a} de f {\displaystyle f} et g {\displaystyle g} ). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  lim v {\displaystyle \lim v} (resp. lim g {\displaystyle \lim g} )
ℓ ′ < 0 {\displaystyle \ell '<0} ℓ ′ > 0 {\displaystyle \ell '>0} 0 {\displaystyle 0} − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty }
lim u {\displaystyle \lim u} (resp. lim f {\displaystyle \lim f} ) ℓ < 0 {\displaystyle \ell <0} ℓ ℓ ′ {\displaystyle \ell \ell '} ℓ ℓ ′ {\displaystyle \ell \ell '} 0 {\displaystyle 0} + ∞ {\displaystyle +\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty }
ℓ > 0 {\displaystyle \ell >0} ℓ ℓ ′ {\displaystyle \ell \ell '} ℓ ℓ ′ {\displaystyle \ell \ell '} 0 {\displaystyle 0} − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty }
0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} FI FI
− ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty } FI + ∞ {\displaystyle +\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty }
+ ∞ {\displaystyle +\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty } FI − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty }

Quotient

On peut diviser une suite u = ( u n ) {\displaystyle u=(u_{n})} par une suite v = ( v n ) {\displaystyle v=(v_{n})} vérifiant ∀ n ∈ N v n ≠ 0 {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n}\neq 0} ou une fonction f {\displaystyle f} par une fonction g {\displaystyle g} vérifiant g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} pour tout x {\displaystyle x} au voisinage du point considéré :

  • la suite u v {\displaystyle {\frac {u}{v}}} est définie par : ∀ n ∈ N ( u v ) n = u n v n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \left({\frac {u}{v}}\right)_{n}={\frac {u_{n}}{v_{n}}}}  ;
  • la fonction f g {\displaystyle {\frac {f}{g}}} est définie par : ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}} pour tous les x {\displaystyle x} tels que g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} .

On peut donner la limite de la suite u v {\displaystyle {\frac {u}{v}}} en fonction des limites respectives des suites u {\displaystyle u} et v {\displaystyle v} (resp. la limite de la fonction f g {\displaystyle {\frac {f}{g}}} en un point a {\displaystyle a} en fonction des limites en a {\displaystyle a} de f {\displaystyle f} et g {\displaystyle g} ). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  lim v {\displaystyle \lim v} (resp. lim g {\displaystyle \lim g} )
ℓ ′ < 0 {\displaystyle \ell '<0} ℓ ′ > 0 {\displaystyle \ell '>0} 0 − {\displaystyle 0^{-}} 0 + {\displaystyle 0^{+}} − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty }
lim u {\displaystyle \lim u} (resp. lim f {\displaystyle \lim f} ) ℓ < 0 {\displaystyle \ell <0} ℓ ℓ ′ {\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}} ℓ ℓ ′ {\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}} + ∞ {\displaystyle +\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty } 0 ( + ) {\displaystyle 0^{(+)}} 0 ( − ) {\displaystyle 0^{(-)}}
ℓ > 0 {\displaystyle \ell >0} ℓ ℓ ′ {\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}} ℓ ℓ ′ {\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}} − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty } 0 ( − ) {\displaystyle 0^{(-)}} 0 ( + ) {\displaystyle 0^{(+)}}
0 − {\displaystyle 0^{-}} 0 ( + ) {\displaystyle 0^{(+)}} 0 ( − ) {\displaystyle 0^{(-)}} FI FI 0 ( + ) {\displaystyle 0^{(+)}} 0 ( − ) {\displaystyle 0^{(-)}}
0 + {\displaystyle 0^{+}} 0 ( − ) {\displaystyle 0^{(-)}} 0 ( + ) {\displaystyle 0^{(+)}} FI FI 0 ( − ) {\displaystyle 0^{(-)}} 0 ( + ) {\displaystyle 0^{(+)}}
− ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty } FI FI
+ ∞ {\displaystyle +\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty } + ∞ {\displaystyle +\infty } FI FI

Formes indéterminées

Les formes indéterminées sont soit de type additif : + ∞ − ( + ∞ ) {\displaystyle +\infty -(+\infty )} , soit de type multiplicatif : 0 × ± ∞ {\displaystyle 0\times \pm \infty } , 0 0 {\displaystyle {\tfrac {0}{0}}} ou ± ∞ ± ∞ {\displaystyle {\tfrac {\pm \infty }{\pm \infty }}} . Notons que certaines formes indéterminées sont plus "camouflées" et on ne retrouve l'une des formes précédentes qu'après passage à l'exponentielle du logarithme népérien.

Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

L'article suivant traite plus en détail ces techniques :

Article détaillé : Forme indéterminée.
Exemple :

On cherche à calculer

lim x → 0 + ( 1 x 3 − 1 x 4 ) {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left({\frac {1}{x^{3}}}-{\frac {1}{x^{4}}}\right)}

Or,

lim x → 0 + 1 x 3 = lim x → 0 + 1 x 4 = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{4}}}=+\infty }

donc on est dans un cas de forme indéterminée « additive » ; on factorise l'expression :

1 x 3 − 1 x 4 = 1 x 4 × ( x − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{x^{3}}}-{\frac {1}{x^{4}}}={\frac {1}{x^{4}}}\times (x-1)}
lim x → 0 + 1 x 4 = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{4}}}=+\infty } et lim x → 0 + ( x − 1 ) = − 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(x-1)=-1}

donc on peut conclure d'après les règles sur la multiplication :

lim x → 0 + ( 1 x 3 − 1 x 4 ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left({\frac {1}{x^{3}}}-{\frac {1}{x^{4}}}\right)=-\infty }

Composition

Propriété

Soient I {\displaystyle I} et J {\displaystyle J} deux intervalles non triviaux, f : I → R {\displaystyle f:I\to \mathbb {R} } et g : J → R {\displaystyle g:J\to \mathbb {R} } deux applications telles que f ( I ) ⊂ J {\displaystyle f(I)\subset J} , et a {\displaystyle a} un point de I {\displaystyle I} ou une borne de I {\displaystyle I} .

Si lim x → a f ( x ) = b et lim y → b g ( y ) = c , alors lim x → a ( g ∘ f ) ( x ) = c . {\displaystyle {\text{Si}}\quad \lim _{x\to a}f(x)=b\quad {\text{et}}\quad \lim _{y\to b}g(y)=c,\quad {\text{alors}}\quad \lim _{x\to a}(g\circ f)(x)=c.}

Composition d'une fonction et d'une suite

Soient g : J → R {\displaystyle g:J\to \mathbb {R} } comme précédemment, et ( y n ) {\displaystyle (y_{n})} une suite à valeurs dans J {\displaystyle J} .

Si lim n → ∞ y n = b et lim y → b g ( y ) = c , alors lim n → ∞ g ( y n ) = c . {\displaystyle {\text{Si}}\quad \lim _{n\to \infty }y_{n}=b\quad {\text{et}}\quad \lim _{y\to b}g(y)=c,\quad {\text{alors}}\quad \lim _{n\to \infty }g(y_{n})=c.}

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

  • Limites d'une fonction/Opérations sur les limites, sur Wikiversity

Sur les autres projets Wikimedia :

  • Fonctions d'une variable réelle/Limites#Limites et opérations, sur Wikiversity

Sur les autres projets Wikimedia :

  • Suites et récurrence/Opérations sur les limites, sur Wikiversity
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