Théorème de Stallings

Le théorème de Stallings est un théorème de la théorie des groupes des groupes qui caractérise les groupes à plusieurs bouts. Il en résulte une caractérisation des groupes libres par leur dimension cohomologique, parfois aussi appelée théorème de Stallings ou théorème de Stallings-Swan.

John Stallings et Richard Swan ont reçu le prix Frank-Nelson-Cole d'algèbre pour ces résultats.

Théorème de Stallings sur les bouts de groupes

Pour un groupe de type fini G {\displaystyle G} soit e ( G ) {\displaystyle e(G)} le nombre de bouts du graphe de Cayley de G {\displaystyle G}  ; ce nombre est indépendant du choix du système générateur utilisé pour construire le graphe de Cayley. D'après un théorème de Freudenthal[1], on a e ( G ) ≤ 2 {\displaystyle e(G)\leq 2} ou e ( G ) = ∞ {\displaystyle e(G)=\infty } .

Théorème de Stallings sur les bouts de groupes — On a e ( G ) > 1 {\displaystyle e(G)>1} si et seulement si G {\displaystyle G} est un produit libre amalgamé non trivial G = G 1 ∗ A G 2 {\displaystyle G=G_{1}*_{A}G_{2}} de deux groupes de type fini sur un groupe fini ou une extension HNN non triviale G = G 1 ∗ A {\displaystyle G=G_{1}*_{A}} d'un groupe de type fini par un groupe fini[2],[3].

En particulier, on a e ( G ) = ∞ {\displaystyle e(G)=\infty } pour les groupes de type fini sans torsion exactement quand G {\displaystyle G} un produit libre G = G 1 ∗ G 2 {\displaystyle G=G_{1}*G_{2}} de deux sous-groupes non triviaux.

Théorème de Stallings-Swan de caractérisation des groupes libres

Il découle du théorème de Stallings qu'un groupe de type fini est libre si et seulement si sa dimension cohomologique est c d Z ( G ) = 1 {\displaystyle cd_{\mathbb {Z} }(G)=1} .

Une forme plus générale a été démontrée par Swan[4] :

Théorème de Stallings-Swan — Soit R {\displaystyle R} un anneau unitaire et G {\displaystyle G} un groupe sans torsion. Alors G {\displaystyle G} est libre si et seulement si c d R ( G ) = 1 {\displaystyle cd_{R}(G)=1} .

Ce théorème ne nécessite pas l'hypothèse que G {\displaystyle G} est de type fini. La condition d'être sans torsion est toujours satisfaite pour les groupes quand c d Z ( G ) < ∞ {\displaystyle cd_{\mathbb {Z} }(G)<\infty } .

Une autre conséquence est qu'un groupe sans torsion contenant un sous-groupe libre d'indice fini est lui-même libre.

Développements

Plusieurs autres preuves du théorème de Stallings ont été données après la preuve originale de Stallings. Ainsi, Dunwoody a donné une preuve[5] basée sur les idées de coupes d'arêtes. Ultérieurement, Dunwoody a donné une preuve du théorème de Stallings pour les groupes finiment présentés en utilisant une méthode dite des « pistes » sur les 2-complexes finis[6]. Graham A. Niblo a obtenu une preuve géométrique[7] du théorème de Stallings comme une conséquence d'une version relative de CAT(0)-cubing de Sageev. Mikhaïl Gromov a esquissé une preuve[8] dans sa présentation des groupes hyperboliques, où l'argument des surfaces minimales est remplacé par un argument plus facile d'analyse harmonique et cette approche a été poussée plus loin par Kapovich[9].

Notes et références

  • (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Satz von Stallings » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

  • John Stallings, « On torsion-free groups with infinitely many ends », Annals of Mathematics (2), vol. 88,‎ , p. 312–334.
  • John Stallings, Group theory and three-dimensional manifolds : A James K. Whittemore Lecture in Mathematics given at Yale University, Yale University Press, coll. « Yale Mathematical Monographs, 4 », .
  • Richard Swan, « Groups of cohomological dimension one », J. Algebra, vol. 12,‎ , p. 585–610.
  • Daniel Cohen, Groups of cohomological dimension one, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 245), .
  • Martin Dunwoody, « Accessibility and groups of cohomological dimension one », Proc. London Math. Soc. (3), vol. 38, no 2,‎ , p. 193–215
  • Martin Dunwoody, « Cutting up graphs », Combinatorica, vol. 2, no 1,‎ , p. 15-23 (DOI 10.1007/BF02579278)
  • Martin Dunwoody, « The accessibility of finitely presented groups », Invent. Math., vol. 81, no 3,‎ , p. 449–457
  • Mikhaïl Gromov, « Hyperbolic Groups », dans G. M. Gersten (éditeur), Essays in group theory, New York, Springer, coll. « Math. Sci. Res. Inst. Publ. » (no 8), , p. 75-263
  • Graham Niblo, « A geometric proof of Stallings' theorem on groups with more than one end », Geom. Dedicata, vol. 105,‎ , p. 61–76 (DOI 10.1023/B:GEOM.0000024780.73453.e4)
  • Michail Kapovich, « Energy of harmonic functions and Gromov's proof of Stallings' theorem », Georgian Math. J., vol. 105, no 3,‎ , p. 281–296 (arXiv 0707.4231)
  • Reinhard Diestel, « The end structure of a graph: recent results and open problems », Discrete Mathematics, vol. 100, nos 1–3,‎ , p. 313–327 (DOI 10.1016/0012-365X(92)90650-5, MR 1172358).
  • Reinhard Diestel et Daniela Kühn, « Graph-theoretical versus topological ends of graphs », Journal of Combinatorial Theory, series B, vol. 87, no 1,‎ , p. 197–206 (DOI 10.1016/S0095-8956(02)00034-5, MR 1967888).
  • Hans Freudenthal, « Über die Enden topologischer Räume und Gruppen », Mathematische Zeitschrift, vol. 33,‎ , p. 692–713 (DOI 10.1007/BF01174375).
  • Hans Freudenthal, « Über die Enden diskreter Räume und Gruppen », Commentarii Mathematici Helvetici, vol. 17,‎ , p. 1–38 (DOI 10.1007/bf02566233, MR 0012214).


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