Théorème de représentation de Skorokhod
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En théorie des probabilités, le théorème de représentation de Skorokhod montre qu'une suite de variables aléatoires convergeant en loi peut toujours, en un certain sens, être représentée par une suite de variables aléatoires convergeant presque sûrement. Ce théorème porte le nom du mathématicien ukrainien A.V. Skorokhod.
Énoncé
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Soit une suite de variables aléatoires à valeurs dans un espace topologique de Lusin. Supposons que converge en loi vers une variable aléatoire à valeurs dans quand . Alors il existe un espace probabilisé et des variables aléatoires , définies sur cet espace probabilisé telles que :
- pour chaque entier , et ont même loi ;
- les variables aléatoires et ont même loi ;
- converge presque sûrement vers .
Démonstration dans le cas réel
Dans cette section, on suppose que est la droite réelle. On note la fonction de répartition de , et on note la fonction de répartition de , et on considère les réciproques généralisées de et , définies, pour dans , par
De plus, on pose
L'idée est que la convergence de vers entraîne la convergence des réciproques généralisées correspondantes :
Lemme — est au plus dénombrable.
En effet, si alors est constant sur l'intervalle égal à sur Si, de plus, et alors, par croissance de , de sorte que les intervalles et sont disjoints et non vides. Si on choisit arbitrairement un rationnel dans chaque intervalle non vide, on définit ainsi une application de dans strictement croissante : donc injective. Ainsi établit une bijection entre et une partie de
Lemme — Pour
En effet, pour on a
puisque, pour tout on a On sait que l'ensemble des points de discontinuités de est au plus dénombrable et que, pour hors de ,
Ainsi, pour tout on peut trouver Pour ce choix de donc, à partir d'un certain rang, et, en conséquence, On en déduit que pour tout
ce qui entraîne
Par ailleurs, pour on a Mais, pour tout on peut trouver Pour ce choix de , donc, à partir d'un certain rang, et, en conséquence, On en déduit que pour tout
ce qui entraîne
On conclut en remarquant, à l'aide du théorème de la réciproque, que et ont même loi, mais aussi que et ont même loi.
Voir aussi
Références
- (en) L. C. G. Rogers (en) et David Williams (en), Diffusions, Markov Processes, and Martingales, vol. 1 : Foundations, Cambridge, CUP, coll. « Cambridge Mathematical Library », , 2e éd., 406 p. (ISBN 0-521-77594-9 et 978-0521775946), chap. 6 (« Probability measures on Lusin spaces, section 86 : The Skorokhod representation of Cb(S) convergence on Pr(S) »), p. 215-216.
- (en) Patrick Billingsley (de), Convergence of Probability Measures, New York, John Wiley & Sons, Inc., , 277 p. (ISBN 0-471-19745-9), p. 70.
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