Fourier-sor

Legyen ${\displaystyle f(x)\in R_{[2\pi ]}}$ az ${\displaystyle \mathbb {R} }$ értelmezett, ${\displaystyle 2\pi }$ szerint periodikus és a ${\displaystyle \left[0,2\pi \right]}$ intervallumon Riemann-integrálható függvény. Ekkor az ${\displaystyle f(x)}$ függvény Fourier-során a következő függvénysort értjük:

${\displaystyle f(x)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx\right)}$,

ahol a ~ a következőképp olvasandó: "az f(x) függvény Fourier-sora …", továbbá érvényes:

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos kx\,dx}$ ${\displaystyle \left(k=0,1,2\dots \right)}$

és

${\displaystyle b_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin kx\,dx}$ ${\displaystyle \left(k=1,2,\dots \right)}$.

Az ${\displaystyle \left\{a_{k}\right\},\left\{b_{k}\right\}}$ számokat a függvény Fourier-együtthatóinak nevezzük.

Ha előáll ilyen alakban a függvény (azaz egyenlőség áll fent), akkor ez az egyetlen együttható-sorozat, amire ez igaz.

Ha ${\displaystyle f(x)}$ páros függvény, akkor ${\displaystyle b_{k}=0}$, és

${\displaystyle a_{k}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(x)\cos kx\,dx}$.

Ha ${\displaystyle f(x)}$ páratlan függvény, akkor ${\displaystyle a_{k}=0}$, és

${\displaystyle b_{k}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(x)\sin kx\,dx}$.

Kapcsolódó szócikkek

• Fourier-analízis
• Fejér-tétel

További információk

• Letölthető interaktív Java szimuláció a Fourier-analízisről a PhET-től, magyarul.

Források

• Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I-II. Typotex Kiadó, 2003. ISBN 963-9548-21-9, ISBN 963-9548-22-7