Időegyenlet

Az időegyenlet vagy időkiegyenlítés az óra által mutatott középidő és egy napóra által mutatott valódi idő különbsége. A pontos érték ismerete fontos a geodéziai és navigációs helymeghatározásban a földrajzi hosszúság kiszámításakor.

A szó jelentése

Az antik csillagászok szóhasználatában a latin equatio (egyenlet) illetve a görög analemma javítást, kiigazítást, korrekciót jelentett,[1] azt az értéket, amelyet a valamilyen módon kiszámított vagy mért mennyiséghez hozzá kell adni, hogy a helyes értéket megkapjuk.

Története

Geminus (i. sz. 50 körül) említi, majd egy évszázad múlva Ptolemaiosz (i. sz. 150 körül) híres művében, az Almagesztben az okát is megmagyarázva közli a korának megfelelő pontosságú értékeket. Igazi jelentőségét a Kepler-probléma megoldásával és a csillagászati, majd a hajózási műszerek pontosságának kifejlesztésével nyerte el. Ekkor vált lehetségessé a világidő mérése és ezzel a pontos földrajzi helymeghatározás.

Az okok

Az ábra mutatja, hogyan adja ki a két fő komponens az időkiegyenlítést (piros vonal)

Az idő kiegyenlítésére azért van szükség, mert a Nap helyzete alapján mért helyi idő (napóra, szextáns) nem egyezik az időmérés alapját képező, egyenletesen telő középidővel (karóra, falióra, kvarcóra, atomóra stb.). Az eltérésnek két fő oka, hogy

  1. a földpálya ellipszis és a keringési sebesség nem egyenletes,
  2. a földpálya (ekliptika) és az egyenlítő síkja nem esik egybe (tengelyferdeség).

Kisebb anomáliát (eltérést) okoz a tavaszpont és a perihélium vándorlása, valamint a Föld forgási tengelyének és forgási sebességének időszakos változása. Ezeket vagy a két fő komponens számításánál veszik figyelembe, vagy hatásuk elhanyagolható. A számításokhoz szükséges változó adatokat csillagászati és navigációs intézetek évkönyveikben (Annales) vagy honlapjukon közlik.

Évente négy alkalommal (április 15., június 14., szeptember 1. és december 25.) az időeltérés nullává válik a helyi idő és a középidő között. A legnagyobb eltérés novemberben van, ez eléri a 16 percet.[2]

Az elliptikus eltérés

A Nap ekliptikai hosszúsága ( λ {\displaystyle \lambda } ) a valódi ( ω {\displaystyle \omega } ) anomália alapján számítható. A Kepler-probléma (közelítő) megoldása alapján:

λ ( t ) = ω ( t ) + ψ = ψ + 2 π t + 2 e ⋅ sin ⁡ ( 2 π t ) + 1 , 25 e 2 ⋅ sin ⁡ ( 4 π t ) + … [ m o d ( 2 π ) ] {\displaystyle \lambda (t)=\omega (t)+\psi =\psi +2\pi t+2e\cdot \sin(2\pi t)+1,25e^{2}\cdot \sin(4\pi t)+\dots [mod{(2\pi )}]}

ahol ψ {\displaystyle \psi } a perihélium ekliptikai hosszúsága és e = 0,0167 a Földpálya excentrumossága. A t időt a perihéliumátmenet időpontjától számítjuk, ami változik. Megfelelő átszámítással a korrekció fokokban, napokban, órákban illetve ezek törtrészében számítható.

Az ekliptikai eltérés

Az idő egyenletes méréséhez kitalált fiktív egyenlítői középnap az égi egyenlítőn mozog egyenletesen és nem az ekliptikán, mint a valódi Nap. A két sík hajlásszöge (az ekliptika hajlása) ε = 23 , 4 ∘ {\displaystyle \varepsilon =23,4^{\circ }} . Ezért az ekliptikán mért hosszúságnak az égi egyenlítőre eső vetületével, azaz a Nap egyenlítői koordinátájával, az α {\displaystyle \alpha } rektaszcenzióval kell számolni. A vetületi rövidülés a hosszúságtól is függ, a korrekciós faktor az ϵ {\displaystyle \epsilon } hajlásból:

τ = tan 2 ⁡ ( ε 2 ) {\displaystyle \tau =\tan ^{2}({\frac {\varepsilon }{2}})} , amivel a vetület:

α ( t ) = α = λ − τ sin ⁡ ( 2 λ ) + 0 , 5 τ 2 sin ⁡ ( 4 λ ) {\displaystyle \alpha (t)=\alpha =\lambda -\tau \sin(2\lambda )+0,5\tau ^{2}\sin(4\lambda )\!\,} ,

Az idő szinkronizálása

A két lépésben történő számításhoz az időt a Föld perihéliumátmenetétől kell számítani. Erre január 3-án kerül sor, de az átmenet időpontja változik. Egyrészt a bolygók perturbációja miatt a pálya nagytengelye lassan elfordul, másrészt az év nem pontosan 365 napos hossza miatt egy napon belül ingadozik.

Az égi koordináták kezdőpontja a tavaszpont. A naptári év hosszát a Nap két tavaszpont-átmenete határozza meg (tropikus év). Az átmenet naptári időpontja, a tavaszi napéjegyenlőség az előbbi okok miatt változik március 19-21 között. Ezen felül a tavaszpont helye a Föld tengelyének perturbációja miatt az egyenlítőn vándorol.

Az éven belüli időmérésünk kezdete január 1-jén világidőben (UTC) a 00 h 00 m 00 s {\displaystyle 00^{h}00^{m}00^{s}} időpont. Mivel az időegyenletnek nincs egzakt megoldása, a közelítő formulákat az alkalmazás pontossági igényéhez igazítva úgy adják meg, hogy abban a t változó helyett az év napjainak sorszáma (d) szerepel: január 1.=1, január 2.=2, …, február 1.=32, …., december 31.=365. A csillagászok inkább a Julián dátumot (JD) használják, melynek kezdete i. e. 4713. január 1. 12:00:00.

Az időegyenlet

A gyakorlatban (geodézia, navigáció stb.) a mérés a Nap (vagy közvetve más égitest) óraszögének ( α {\displaystyle \alpha } ) műszeres meghatározásával történik (valódi idő). Az adott hely földrajzi hosszúsága pedig a fiktív középnap óraszögével ( α 0 {\displaystyle \alpha _{0}} ) egyezik (helyi középidő). Ezért az időegyenletet e két óraszög különbségeként adják meg, melyet a műszerrel meghatározott időhöz hozzáadva megkapjuk a középidőt:

E = α − α 0 {\displaystyle E=\alpha -\alpha _{0}\!\,} ,

Más megközelítésben az időegyenlet definíciója

α − μ + ψ {\displaystyle \alpha -\mu +\psi \!\,} ,

ahol α {\displaystyle \alpha \!\,} a valódi Nap rektaszcenziója, μ {\displaystyle \mu \!\,} a közepes anomália, és ψ {\displaystyle \psi \!\,} a perihélium ekliptikai hosszúsága. A megfelelő gömbháromszögekből a rektaszcenzió:

cos ⁡ ( α ) = cos ⁡ ( ω − ψ ) / cos ⁡ ( δ ) {\displaystyle \cos(\alpha )=\cos(\omega -\psi )/\cos(\delta )\!\,} ,

ahol ω {\displaystyle \omega \!\,} a valódi anomália és δ {\displaystyle \delta \!\,} a Nap deklinációja:

sin ⁡ ( δ ) = sin ⁡ ( μ − ψ ) sin ⁡ ( ε ) {\displaystyle \sin(\delta )=\sin(\mu -\psi )\sin(\varepsilon )\!\,} ,

ahol ε {\displaystyle \varepsilon \!\,} az ekliptika és az egyenlítő szöge (inklináció).

Az időegyenlet grafikonja
Az időegyenlet grafikonja

Közelítő formulák

E = középidő - helyi idő:

E = 0 , 171 sin ⁡ ( 0 , 0337 t + 0 , 465 ) + 0 , 1299 sin ⁡ ( 0 , 01787 t − 0 , 168 ) {\displaystyle E=0,171\sin(0,0337t+0,465)+0,1299\sin(0,01787t-0,168)\!\,} ,
E = 595 s sin ⁡ ( 198 ∘ + 1 , 9713 ∘ t ) + 441 s sin ⁡ ( 175 ∘ + 0 , 9856 ∘ t ) {\displaystyle E=595^{s}\sin(198^{\circ }+1,9713^{\circ }t)+441^{s}\sin(175^{\circ }+0,9856^{\circ }t)\!\,} ,

Jól használható a következő algoritmus:

Legyen d = naptári nap sorszáma, azaz

Január 1. ⇒ d=1
Január 2. ⇒ d=2
⋮ {\displaystyle \vdots }

Legyen B értéke

fokokban: B = 360 ∘ ( d − 81 ) / 364 {\displaystyle B=360^{\circ }(d-81)/364\!\,}

illetve

radiánban: B = 2 π ( d − 81 ) / 364 {\displaystyle B=2\pi (d-81)/364\!\,}

Ekkor

E = 9 , 87 sin ⁡ ( 2 B ) − 7 , 53 cos ⁡ ( B ) − 1 , 5 sin ⁡ ( B ) {\displaystyle E=9,87\sin(2B)-7,53\cos(B)-1,5\sin(B)\!\,} ,

ahol E {\displaystyle E\!\,} percekben értendő.

Ezzel az approximációval készült a fenti kép.

Jegyzetek

  1. ↑ "The equation and Time", Jean Meeus, Hemel en Dampkring, Vol. 68, No. 2 pp. 21-27 (1970. febr.)
  2. ↑ Astronomy Encyclopedia - A comprehensive & authoritative A-Z guide to the Universe, 2002, p. 133

További információk

  • NASA Fotó
  • Időegyenlet matematikai leírással
  • Analemmára specializált lap sok illusztrációval
  • Az időegyenlet grafikonja - Állandóan frissítve
  • Táblázat Az időegyenletet és a Nap deklinációjat adja meg minden napra
  • Időegyenlet A Royal Greenwich Observatory honlapja
  • Az időegyenlet és az analemma görbe Kieron Taylor szerint.
  • Brian Tung cikke benne egy link egy C programra: időegyenlet, analemma, Nap deklinácó számítása.
  • Időegyenlet - Ptolemáiosz efemeridáit alkalmazó számítása
  • Calculate solar time for any time of the day - Napidő kalkulátor.
  • Solar Time - Napidő kalkulátor.
  • Illusztrációk animáció is.

Irodalom

  • Kulin György et al., A távcső világa, Gondolat, Budapest,1980.
  • Budó Ágoston, Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1951.
  • Csillagászat Csillagászatportál
  • Földrajz Földrajzportál