Kommutatív algebra

A kommutatív algebra az algebra egy részterülete. Kommutatív gyűrűkkel és a felettük létező modulusokkal foglalkozik. Mind az algebrai számelmélet, mind az algebrai geometria alapvető módon épít a kommutatív algebra eredményeire. Utóbbiban a kommutatív algebra biztosítja az ún. sémák lokális vizsgálatának eszközeit.

Fontos és közismert példák kommutatív gyűrűre a következők: polinomgyűrűk, algebrai egészek gyűrűi a racionális számok testbővítéseiben – speciálisan ezek közé tartozik a racionális egész számok ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ gyűrűje –, illetve a p-adikus egészek.^[1]

Az algebrai számelméletben egy számtest (a racionális számok ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ testének véges bővítése) algebrai egészeinek gyűrűje Dedekind-gyűrű. Ezek viselkedésének vizsgálata a kommutatív algebra fejlődésének egy fontos motiváló ereje. Emellett a kommutatív algebra számos fogalma megfeleltethető az algebrai geometriában megjelenő (gyakran általánosabb) fogalmaknak. Ez áll többek között a Krull-dimenzió, a primér felbontás, a reguláris gyűrű^[2], a Cohen–Macaulay-gyűrű^[3] illetve a Gorenstein-gyűrű^[4] fogalmára.

A nem feltétlenül kommutatív gyűrűk vizsgálatával a nemkommutatív algebra foglalkozik. Ez magában foglalja a gyűrűelméletet, a reprezentációelméletet, és a Banach-algebrák elméletét.

Számelméleti vonatkozások

A kommutatív algebra által vizsgált objektumok először feltehetően a számelméletben jelentek meg.^[5] Az alapvető felismerés abban állt, hogy ha ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-t egy polinom gyökeivel bővítjük, a kapott bővítés hasonlóságokat mutat ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-vel.

Ezeket a kutatásokat a nagy Fermat-sejtés is motiválta. A sejtés szerint az

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$

egyenletnek nincs a racionális egész számok között ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}$-tól különböző megoldása, ha ${\displaystyle n\geq 3}$. Az állítás könnyen redukálható arra az esetre, ha ${\displaystyle n=p}$ prímszám. Egy lehetséges útnak tűnt a bizonyítás felé az egyenlet bal oldalának faktorizálása: ha ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ helyett ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]}$-ben dolgozunk, ahol ${\displaystyle \zeta _{n}}$ primitív ${\displaystyle p}$-edik egységgyök, akkor a bal oldal szorzattá bontható: ${\displaystyle x^{p}+y^{p}=\prod _{i=0}^{p-1}(x+\zeta _{p}^{i}y)=z^{p}}$. Így a bal és a jobb oldalon is egy ${\displaystyle p}$ tényezős szorzat szerepel. Ha most alkalmazhatnánk a számelmélet alaptételét ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]}$-ben, akkor mindkét oldalt prímelemek szorzatára bonthatnánk, ami ellentmondáshoz vezethetne. A probléma viszont az, hogy a ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]}$ gyűrű általában nem UFD, azaz nem igaz benne a számelmélet alaptétele.^[6]

Ez a megközelítés vezetett az ideál fogalmának Dedekind általi bevezetéséhez. A név ideális, azaz nem valódi elemekre utal.^[7] Az ideálok a gyűrűelemek általánosításainak tekinthetők annyiban, hogy minden gyűrűelem generál egy főideált; az alaptétel szempontjából ez nem vezet gondokhoz, hiszen a prímfelbontás amúgy is mindig csak egységek erejéig egyértelmű. Dedekind sikeresen meghatározta azokat a gyűrűket, amikben az ideálok egyértelműen felírhatók prímideálok szorzataként: ezek a Dedekind-gyűrűk.

Az ideálok bevezetése önmagában nem volt elegendő a Fermat-tétel bizonyításához. Ugyanakkor ezeken keresztül Kummer sikeresen igazolta a tételt reguláris prímekre, azaz olyan ${\displaystyle p}$-kre, amik nem osztják a ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$ test osztályszámát.^[8] (37, 59 és 67 kivételével minden 100 alatti prím reguláris.)

A gyűrűbővítések egy másik útját Kronecker alapozta meg: bevezette a polinomgyűrű fogalmát, és egy ${\displaystyle K}$ test feletti ${\displaystyle f(X)}$ polinom gyökeivel való bővítést ${\displaystyle K[X]/(f(X))}$ alakban értelmezett. Kronecker továbbá definiálta a Dedekind-féle ideálok megfelelőit ebben a felállásban. Egyértelmű prímfelbontás ugyan nem létezik ebben az esetben, viszont egy gyengébb formája fennáll: ez a Lasker által bizonyított primér felbontás.^[9]

A két fent vázolt elméletet Noether helyezte közös alapokra, úttörő munkát végezve a kommutatív algebra modern megalapozásában.^[10]

Főbb eszközök és eredmények

Konvenció: a továbbiakban gyűrű alatt kommutatív egységelemes gyűrűt értünk.

Noether-gyűrűk

Bővebben: Noether-gyűrű

A Noether-gyűrűk mind a kommutatív, mind a nemkommutatív gyűrűelméletben alapvető fontosságúak. Egy Noether-gyűrű olyan gyűrű, amiben ideálok bármely nemüres halmazának van maximális eleme. Ezzel ekvivalens, hogy a gyűrű teljesíti a maximumfeltételt ideálokra. Ez alatt azt értjük, hogy ideálok bármely

${\displaystyle I_{1}\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots }$

lánca stabilizálódik, azaz létezik olyan n, hogy:

${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots }$

Egy kommutatív gyűrű továbbá akkor és csak akkor Noether, ha minden ideál végesen generált.^[11]

Lokalizáció

A lokalizáció az integritási tartományokra értelmezett hányadostest-fogalom általánosításának tekinthető. Heurisztikusan a lokalizálás során megengedjük a gyűrű bizonyos elemeivel való osztást, ez ugyanakkor a hányadostest-konstrukcióval szemben nem az összes nemzéró elem, hanem ezeknek csak egy részhalmaza lesz.

A formális definícióhoz először bevezetjük a multiplikatívan zárt részhalmaz fogalmát: ez az ${\displaystyle R}$ gyűrű egy olyan ${\displaystyle S\subseteq R}$ részhalmaza, ami tartalmazza a gyűrű egységelemét, és ha ${\displaystyle s,s'\in S}$, akkor ${\displaystyle ss'\in S}$.

Tekintsük a következő relációt az ${\displaystyle R\times S}$ halmazon: ${\displaystyle (r,s)\sim (r',s')}$ akkor és csak akkor, ha létezik olyan ${\displaystyle t\in S}$, hogy ${\displaystyle t(sr'-s'r)=0}$. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez ekvivalenciareláció. Az ${\displaystyle R}$ gyűrű ${\displaystyle S}$-nél vett ${\displaystyle S^{-1}R}$ lokalizáltja ekkor az erre a relációra nézve vett ekvivalenciaosztályok halmaza; a továbbiakban az ${\displaystyle (r,s)}$ elem osztályát ${\displaystyle r/s}$ jelöli. A lokalizálton az összeadást és a szorzást a következőképpen definiáljuk:

${\displaystyle {\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}={\frac {rs'+r's}{ss'}}}$, ${\displaystyle {\frac {r}{s}}\cdot {\frac {r'}{s'}}={\frac {rr'}{ss'}}}$.

A kapott gyűrűn a zéruselem így ${\displaystyle 0/1}$, az egységelem ${\displaystyle 1/1}$ lesz.

Jegyezzük meg, hogy a „nevezők” ${\displaystyle S}$ halmazában megengedjük a zéróosztókat. Ha ${\displaystyle S}$ tartalmaz egy zéróosztót, akkor ${\displaystyle S^{-1}R=0}$. Ha ${\displaystyle S}$ nullosztómentes, akkor akkor ${\displaystyle R}$ beágyazható a lokalizáltba az

${\displaystyle R\hookrightarrow S^{-1}R,r\mapsto {\frac {r}{1}}}$

leképezéssel.

Ha ${\displaystyle S}$ az ${\displaystyle R}$ összes nemnullosztójából áll, akkor a lokalizáltat az ${\displaystyle R}$ teljes hányadosgyűrűjének nevezzük.^[12]

Fontos speciális eset, amikor ${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}}}$ egy ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ prímideál komplementere. Ekkor a prímideál definíciója révén multiplikatív halmazt kapunk. Ilyenkor a lokalizált szokásos jelölése ${\displaystyle S^{-1}R=R_{\mathfrak {p}}}$.

A lokalizáció fogalma kiterjed a gyűrű fölötti modulusokra is: ha ${\displaystyle M}$ egy ${\displaystyle R}$-modulus, akkor analóg módon definiálható az ${\displaystyle S^{-1}M}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$-modulus.^[13]

A lokalizáció néhány fontos tulajdonsága:

• A lokalizáció rendelkezik a következő univerzális tulajdonsággal: bármely ${\displaystyle R}$-en értelmezett gyűrűhomomorfizmus, amely ${\displaystyle S}$ elemeit egységekbe viszi, keresztülfaktorizál az ${\displaystyle S^{-1}R}$ lokalizálton.^[14]
• A lokalizáció egzakt funktor.^[15]
• A lokalizáció tartja a faktorstruktúrát.^[16]
• A lokalizált ideáljai az eredeti gyűrű ideáljainak lokalizáltjai.^[17]

Az elnevezés az algebrai geometriával kapcsolatos; itt a lokális gyűrűk algebrai varietások egy adott pontnál vett, azaz helyi (lokális) vizsgálatakor kerülnek elő.

Hilbert bázistétele

Hilbert bázistétele szerint ha ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű, akkor az ${\displaystyle R}$ feletti egyváltozós polinomok ${\displaystyle R[X]}$ gyűrűje is Noether-gyűrű. A tételből indukció útján következik, hogy ha ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű, akkor ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ is az.

A tétel azon speciális esetét, amikor az alapgyűrű test, David Hilbert bizonyította először.^[18] Az elnevezésben a bázis szó az ideálok végesen generáltságára utal, ami ekvivalens a Noether-tulajdonsággal.

A bázistétel következménye, hogy Noether-gyűrű felett végesen generált algebra maga is Noether-gyűrű.^[19]

A tétel szerepe az algebrai geometriában a következő. Legyen ${\displaystyle k}$ egy test, legyen adott ${\displaystyle k}$ feletti ${\displaystyle n}$-változós polinomok egy

${\displaystyle \{p_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n}):i\in I\}\subseteq k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

halmaza, és tekintsük ${\displaystyle k^{n}}$ azon ${\displaystyle V}$ részhalmazát, amelyen valamennyi ${\displaystyle p_{i}}$ eltűnik, azaz

${\displaystyle V=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in k^{n}:p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\,\forall i\in I\}}$.

Ekkor ${\displaystyle I}$-nek van olyan véges ${\displaystyle I'}$ részhalmaza, hogy

${\displaystyle V=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in k^{n}:p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\,\forall i\in I'\}}$,

azaz ${\displaystyle V}$ előáll csupán véges sok polinom közös zérushelyeként is. Ez a klasszikus algebrai geometria szempontjából azt jelenti, hogy bármely ${\displaystyle k}$ feletti algebrai varietást leírható véges sok polinom közös zérushelyeként.

Zariski-topológia

Legyen ${\displaystyle R}$ egy gyűrű (a szakasz eleji konvenció továbbra is érvényben van). Ekkor az ${\displaystyle R}$ spektruma alatt a prímideálok halmazát értjük, és ezt ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$-rel jelöljük. Ha ${\displaystyle I\subseteq R}$ egy részhalmaz (nem feltétlenül ideál), akkor legyen

${\displaystyle \mathrm {V} (I)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R:I\subseteq {\mathfrak {p}}\}}$.

Tekintsük ezeket a halmazokat az összes ${\displaystyle I\subseteq R}$ részhalmazra, és definiáljuk a spektrumon a Zariski-topológiát mint azt a topológiát, amiben pontosan ezek a ${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$ halmazok a zárt részhalmazok.^[20] Ekkor ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ egy kontravariáns funktor a gyűrűk kategóriájából a topologikus terek kategóriájába.^[21] Az így definiált ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ topologikus teret az algebrai geometriában affin sémának nevezik.

A klasszikus algebrai geometriában a Zariski-topológia fogalma egy másik értelemben is használatos. Legyen ${\displaystyle k}$ egy test, és legyen ${\displaystyle I\subseteq k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle n}$-változós polinomok egy halmaza (nem feltétlenül ideál a polinomgyűrűben). Ekkor a ${\displaystyle k^{n}}$ affin téren a Zariski-topológia zárt halmazai pontosan a

${\displaystyle V(I)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in k^{n}:\forall f\in I:f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\}}$, ${\displaystyle I\subseteq R}$

halmazok, azaz azon pontok halmazai, amik valamely ${\displaystyle I\subseteq R}$ részhalmazban elemeinek közös zérushelyeiként állnak elő.

A modern algebrai geometria számára az előbbi, a spektrumon alapuló megközelítés az alapvető; a gyűrűk spektrumaként előálló affin sémák a sémaelmélet alapkövei, az általános sémákat az affin sémák ún. összeragasztásával kapjuk. A fenti ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle n}$-dimenziós affin tér megfelelője ekkor a ${\displaystyle \operatorname {Spec} R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ spektrum. A Hilbert-féle gyenge Nullstellensatz szerint a két fogalom egybeesik, ha ${\displaystyle k}$ algebrailag zárt test (azaz nincsen nemtriviális algebrai bővítése) és ${\displaystyle R=k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$.

Az algebrai geometriai megközelítésben tehát a topológiai pontok szerepét a prímidálok veszik át, a fenti ${\displaystyle \mathrm {V} }$ és ${\displaystyle V}$ operátorok közti kapcsolat alapján pedig gondolhatunk a gyűrű elemeire mint függvényekre.^[22]

Nullstellensatz

Nullstellensatz név alatt több különböző, egymással összefüggő tételt lehet érteni, és a szakirodalomban a megnevezések nem teljesen egységesek. A következőkben az affin Nullstellensatz bizonyos variánsairól lesz szó; emellett az algebrai geometriában létezik még projektív illetve analitikus Nullstellensatz is. A Nullstellensatz szó németül zérushelytételt jelent.

Gyenge Nullstellensatz: Legyen ${\displaystyle k}$ algebrailag zárt test. Ekkor a ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ gyűrű maximális ideáljai pontosan az ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$ alakú ideálok, ahol ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in k}$.^[23]

Nullstellensatz vagy Zariski-lemma: Ha ${\displaystyle k}$ egy test, akkor ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ bármely maximális ideáljának maradékteste véges bővítése ${\displaystyle k}$-nak.^[24]

Egy másik, szintén Nullstellensatznak nevezett tétel tartalmazásfordító bijektív (Galois-)kapcsolatot ír le az affin tér algebrai részhalmazai és a polinomgyűrű radikálideáljai között. Ennek leírásához először vezessük be az ${\displaystyle \mathrm {I} }$ operátort: legyen ${\displaystyle R}$ gyűrű, ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {Spec} (R)}$ egy részhalmaz. Ekkor

${\displaystyle \mathrm {I} (S)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in S}{\mathfrak {p}}}$

Intuitíve az ${\displaystyle \mathrm {I} (S)}$ halmaz az ${\displaystyle S}$-en eltűnő függvények halmazának felel meg. Könnyen ellenőrizhető, hogy ${\displaystyle I(S)\subseteq R}$ egy ideál, ${\displaystyle \mathrm {I} }$ rendezésváltó, és ${\displaystyle \mathrm {I} (S)=\mathrm {I} ({\overline {S}})}$, ahol ${\displaystyle {\overline {S}}}$ az ${\displaystyle S}$ lezártját jelöli a Zariski-topológiában.^[25]

Szükségünk lesz még a radikál fogalmára. Legyen ${\displaystyle J\subseteq R}$ egy ideál; ekkor ${\displaystyle J}$ radikálja azon gyűrűelemekből áll, amelynek valamely hatványa ${\displaystyle J}$-ben van.

${\displaystyle {\sqrt {J}}=\{r\in R:\exists n\geq 0,r^{n}\in J\}}$

Nyilvánvaló, hogy ${\displaystyle J\subseteq {\sqrt {J}}}$. Egy ${\displaystyle J}$ ideált radikálideálnak nevezünk, ha ${\displaystyle J={\sqrt {J}}}$.

Nullstellensatz: a ${\displaystyle \mathrm {V} }$ és ${\displaystyle \mathrm {I} }$ operátorok tartalmazásfordító bijekciót adnak meg a spektrum zárt részhalmazai és a gyűrű radikálideáljai között. Speciálisan ${\displaystyle \mathrm {V} (\mathrm {I} (S))={\overline {S}}}$, ${\displaystyle \mathrm {I} (\mathrm {V} (J))={\sqrt {J}}}$.^[26]

Krull-dimenzió

A dimenzióelmélet a kommutatív algebra azon részterülete, ami gyűrűk (és modulusok) dimenziófogalmaival foglalkozik. Több különböző dimenziófogalom is létezik, és ezek általában nem esnek egybe.

A Krull-dimenziót a következőképpen definiáljuk. Legyen ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ az ${\displaystyle R}$ gyűrű egy prímideálja. Ekkor a ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ magassága a

${\displaystyle 0={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}}$

láncok ${\displaystyle n}$ hosszának szuprémuma, ahol ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}}$ prímideálok. Az ${\displaystyle R}$ gyűrű Krull-dimenziója a prímideáljainak magasságainak szuprémuma:

${\displaystyle \dim R=\sup\{\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}):{\mathfrak {p}}\in \operatorname {SpecR} \}}$,

ahol Spec(R) az R spektruma, azaz a prímideálok halmaza. Mivel minden maximális ideál prím, ez megegyezik a maximális ideálok magasságainak szuprémumával. A definíció egyenes következménye, hogy egy prímideál magassága egyenlő a nála vett lokalizáció dimenziójával:

${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})=\dim R_{\mathfrak {p}}}$.^[27]

Hasonló módon definiálható egy topologikus tér Krull-dimenziója is, ekkor prímideálok helyett irreducibilis zárt halmazok láncaival dolgozunk.^[28] Ez adja a kapcsolatot az algebrai geometria dimenziófogalma felé: egy gyűrű spektrumán a Zariski-topológiára nézve vett topologikus Krull-dimenzió megegyezik a gyűrű fent definiált algebrai Krull-dimenziójával.

A Noether-gyűrűk viszonylag jól viselkednek a Krull-dimenzióra nézve: ennek alapját Krull főideáltétele és ennek következménye, Krull magasságtétele jelentik.

Krull főideáltétele a következőt állítja: legyen ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű, ${\displaystyle r\in R}$ a gyűrű egy eleme, és legyen ${\displaystyle r\in {\mathfrak {p}}\subset R}$ egy tartalmazásra nézve minimális prímideál. Ekkor ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})\leq 1}$. Más szavakkal, egy főideál feletti minimális prímideál legfeljebb egy magasságú.

Krull magasságtétele a főideáltétel induktív következménye, és egyben annak általánosítása nem főideálokra. Legyen ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű, legyenek ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}\in R}$, és legyen ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ egy ezeket tartalmazó minimális prímideál. Ekkor a tétel szerint ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})\leq n}$.

Mivel Noether-gyűrűben minden ideál végesen generált, a magasságtételből következik, hogy minden prímideál magassága véges. Az ugyanakkor lehetséges, hogy ezek a magasságok nem korlátosak, és így a gyűrű Krull-dimenziója végtelen; erre először Nagata adott példát.^[29]

Primér felbontás

Noether-gyűrűkben minden ideál felírható bizonyos speciális ideálok – az ún. primér ideálok – metszeteként.

Legyen ${\displaystyle I\subseteq R}$ egy ideál. Ekkor az ${\displaystyle I}$ radikálja

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\{r\in R:\exists n\geq 0:r^{n}\in I\}}$,

azaz azon gyűrűelemek halmaza, amiknek valamely hatványa ${\displaystyle I}$-ben van. Könnyen ellenőrizhető, hogy ${\displaystyle {\sqrt {I}}\supseteq I}$, és ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ideál ${\displaystyle R}$-ben.

Egy ${\displaystyle I\subseteq R}$ ideált primér ideálnak nevezünk, ha teljesül a következő:

ha ${\displaystyle a,b\in R}$ és ${\displaystyle ab\in R}$, akkor ${\displaystyle a\in I}$ vagy ${\displaystyle b\in {\sqrt {I}}}$.

Ez a prímideál definíciójának gyengítése, következésképpen minden prímideál primér. Ennek a részleges megfordítása is igaz: ha ${\displaystyle I}$ primér, akkor ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ prímideál.^[30] Noether-gyűrűben a metszetirreducibilis ideálok (azon ideálok, amik nem állnak elő két nagyobb ideál metszeteként), primér ideálok.^[31] Ez azt sugallja, hogy a primér ideálok alkalmasak lehetnek arra, hogy a gyűrű ideáljainak metszetként való előállításának alkotóköveiként szolgáljanak.

Legyen ${\displaystyle I\subseteq R}$ egy ideál, és tegyük fel, hogy ${\displaystyle I}$ előáll véges sok primér ideál, mondjuk ${\displaystyle Q_{1},\ldots ,Q_{m}}$ metszeteként:

${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{m}Q_{i}}$.

Egy ilyen felírást irredundáns felbontásnak nevezünk, ha a metszetből semelyik ${\displaystyle Q_{i}}$ nem hagyható el, és ${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}\neq {\sqrt {Q_{j}}}}$, ha ${\displaystyle i\neq j}$.

A Lasker–Noether-tétel szerint egy ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű bármely ${\displaystyle I}$ ideáljának van irredundáns felbontása primér ideálok metszeteként, továbbá ${\displaystyle m}$ értéke illetve a ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}:1\leq i\leq n\}}$ halmaz minden ilyen felbontásnál azonos.^[32]

Az algebrai geometria szempontjából a tétel a következő módon írható le. Legyen ${\displaystyle R=k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ a ${\displaystyle k}$ test feletti ${\displaystyle n}$ változós polinomok gyűrűje. Ekkor ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű Hilbert bázistétele értelmében. Legyen ${\displaystyle I\subseteq R}$ egy ideál, és tekintsük az ${\displaystyle I}$-beli polinomok közös zérushelyeit ${\displaystyle k^{n}}$-ben:

${\displaystyle V(I)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in k^{n}:\forall f\in I:f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\}}$.

A ${\displaystyle k^{n}}$ ilyen módon előálló részhalmazait affin algebrai halmazoknak nevezzük. Legyen ${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{m}Q_{i}}$ egy irredundáns primér felbontás; ekkor ${\displaystyle V(I)}$ felbomlik a ${\displaystyle V(Q_{i})}$ affin algebrai halmazok uniójára:

${\displaystyle V(I)=\bigcap _{i=1}^{m}V(Q_{i})}$.

A ${\displaystyle V(Q_{i})}$ halmazok irreducibilisek a Zariski-topológiában, azaz nem írhatók fel affin algebrai halmazok nemtriviális uniójaként.

Lásd még

• Homologikus algebra
• K-elmélet

Jegyzetek

Források

• ↑ Atiyah–Macdonald: Michael Atiyah – Ian G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Reading (Massachusetts): Addison-Wesley Publishing. 1969. ISBN 0-201-00361-9  
• ↑ Eisenbud: David Eisenbud: Commutative Algebra: With a View Toward Algebraic Geometry. New York: Springer-Verlag. = Graduate Texts in Mathematics, 150. ISBN 978-0-387-94268-1  
• ↑ Goldhaber–Ehrlich: Jacob K. Goldhaber – Gertrude Ehrlich: Algebra. London: The Macmillan Company. 1971.  
• ↑ Hilbert: Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen", Mathematische Annalen 36 (4): 473–534, ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01208503
• ↑ Pelikán: Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• ↑ Stacks: A Stacks project szerzői: The Stacks project. stacks.math.columbia.edu (2021)
• ↑ Vakil: Ravi Vakil: The Rising Sea. (angolul) 2017.  
• ↑ Zábrádi 2020: Zábrádi Gergely: Algebrai számelmélet jegyzet. (magyarul) 2020.  

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Commutative algebra című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Primary decomposition című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.