A sűrűségmátrix kevert kvantumállapotok leírására szolgál. Neumann János vezette be 1927-ben.[1] (Más források szerint Lev Landau és Felix Bloch is felfedezte Neumann Jánostól függetlenül.)
Tulajdonságai
Egy kvadratikus mátrix akkor és csak akkor lehet egy kvantumrendszer sűrűségmátrixa, ha
![{\displaystyle {\hat {\rho }}^{+}={\hat {\rho }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17fa6d9897d1b95bd6f72f755170b5eca6c4089)
![{\displaystyle {\hat {\rho }}\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3e8a795e176450c4c1caa677aa021968f68f87)
![{\displaystyle \mathrm {Tr} ({\hat {\rho }})=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e9a0baca442fbdc24af4165f539476cddfa647)
ahol
a
mátrix hermitikus konjugáltját jelöli.
Dekompozíció
Minden sűrűségmátrix felírható tiszta állapotok keverékeként
![{\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/235c1ca476c57e0583914c7237619645b7c615b5)
ahol a
állapotok páronként ortogonálisak,
és
Várható érték és mérés
Egy hermitikus operátor
várható értéke megkapható a sűrűségmátrix segítségével
![{\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\mathrm {Tr} ({\hat {\rho }}{\hat {A}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb4543e460892bc17ce51796c26dc9877379287)
Egy
projektor hatását a rendszer kvantumállapotára a
![{\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {{\hat {P}}{\hat {\rho }}{\hat {P}}}{\mathrm {Tr} ({\hat {P}}{\hat {\rho }})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6fcbb6608581be5b5e866b837e292744268297e)
formula adja. Ez alapján, ha egy
hermitikus operátor felbontását
![{\displaystyle {\hat {A}}=\sum _{k}a_{k}{\hat {P}}_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19653423ebea598c232267c4e6c43a9dcfe110fa)
adja, ahol
egymásra ortogonális projektorok, és az operátor mérésekor
eredményt kaptunk, akkor a rendszer állapota a mérés után
![{\displaystyle {\hat {\rho }}'={\frac {{\hat {P}}_{n}{\hat {\rho }}{\hat {P}}_{n}}{\mathrm {Tr} ({\hat {P}}_{n}{\hat {\rho }})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6333c3625d130c61f52a52466931ab1188360637)
Források
- ↑ J. von Neumann, Mathematische Grundlagen Der Quantenmechanik, Springer-Verlag, Berlin, 1932; Angol fordítás: J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1996.
Irodalom
Nagy Károly: Kvantummechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.