Algebra astratta

L'algebra astratta è la branca della matematica che si occupa dello studio delle strutture algebriche come gruppi, anelli e campi. Essa parte dallo studio degli "insiemi privi di struttura" (o insiemistica vera e propria), per analizzare insiemi via via sempre più strutturati, cioè dotati di una o più leggi di composizione.

Descrizione

L'espressione "algebra astratta" viene utilizzata per distinguere questo campo di studi dall'"algebra elementare" che invece si occupa delle regole per manipolare le formule e le espressioni algebriche che utilizzano numeri reali e complessi.

Storicamente, le strutture algebriche nacquero in altri campi della matematica, dove furono specificate assiomaticamente; successivamente, furono studiate come oggetti a sé stanti nell'algebra astratta. Per questo motivo, l'algebra astratta è fruttuosamente connessa con quasi tutti i rami della matematica.

Esempi di strutture algebriche con una singola operazione binaria sono:

semigruppi;
monoidi;
quasigruppi;
loop;
gruppi.

Esempi più complessi includono:

anelli e campi;
moduli e spazi vettoriali;
algebre associative e algebre di Lie;
reticoli e algebre di Boole.

Nell'algebra universale, tutte queste definizioni e proprietà sono raccolte per essere applicate a tutte le strutture algebriche nello stesso modo. Tutte le classi di oggetti elencate sopra, insieme con la nozione di omomorfismo, formano delle categorie, e la teoria delle categorie fornisce spesso il formalismo necessario per tradurre tra differenti strutture algebriche e per confrontarle.

Bibliografia

Lucio Lombardo-Radice, Istituzioni di algebra astratta. Feltrinelli, Milano 1965.

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Collegamenti esterni

algebra astratta, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Mark Andrew Ronan, modern algebra, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Opere riguardanti Abstract Algebra, su Open Library, Internet Archive.
(EN) Eric W. Weisstein, Abstract Algebra, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Abstract algebra, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
John Beachy: Abstract Algebra On Line (archiviato dall'url originale il 28 dicembre 2020), Una lista esauriente di definizioni e teoremi.
Joseph Mileti: Museo Matematico: ^{[collegamento interrotto]}, una buona introduzione all'argomento in termini di vita reale.

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