Diffrazione di Fraunhofer

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La diffrazione di Fraunhofer corrisponde al caso in cui la luce diffratta da una o più fenditure (sul quale incide un fascio di raggi luminosi paralleli), è osservata a grande distanza dallo schermo stesso.

Diffrazione da una fenditura

Grafico e figura di diffrazione da una singola fenditura di lunghezza infinita

Nel caso di una fenditura di lunghezza infinita e di larghezza a {\displaystyle a} l'intensità I {\displaystyle I} della luce diffratta varia con l'angolo di diffrazione θ {\displaystyle \theta } secondo la relazione:

I ∝ I m a x sin 2 ⁡ β β 2 , β = π a λ sin ⁡ θ {\displaystyle I\propto Imax{\frac {\sin ^{2}\beta }{\beta ^{2}}},\qquad \beta ={\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta }

dove λ è la lunghezza d'onda della radiazione incidente. La funzione I(θ) ha una serie di massimi di altezza rapidamente decrescente. I massimi successivi sono separati da minimi, che corrispondono agli angoli per i quali sin ⁡ θ = n λ a {\displaystyle \sin \theta ={\frac {n\lambda }{a}}} , dove n è un numero intero. In questi punti l'intensità si annulla. Dati n=1 e n=-1 definiamo Δ sin ⁡ θ = 2 λ / a {\displaystyle \Delta \sin \theta =2\lambda /a} come la larghezza del massimo d'intensità. Notiamo subito che se a {\displaystyle a} è molto maggiore della lunghezza d'onda, otteniamo un massimo principale stretto, e questo ci riporta al caso della semplice interferenza (a dimostrazione del fatto che la diffrazione è un caso speciale di interferenza fra onde). Viceversa, per valori di a nell'ordine della lunghezza d'onda, ad esempio a = λ {\displaystyle a=\lambda } otteniamo un massimo che si annulla in Δ sin ⁡ θ = 2 {\displaystyle \Delta \sin \theta =2} , ovvero in θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} : il fenomeno della diffrazione è ora decisamente evidente. Risulta importante sottolineare quindi che la diffrazione si verifica sempre, ma la sua rilevanza dipende dal valore di a.

Reticolo di diffrazione

Nel caso di un reticolo di diffrazione formato da N fenditure di ampiezza a e parallele a una distanza d l'una dall'altra:

I ∝ sin 2 ⁡ β β 2 sin 2 ⁡ N γ sin 2 ⁡ γ , β = π a λ sin ⁡ θ , γ = π d λ sin ⁡ θ {\displaystyle I\propto {\frac {\sin ^{2}\beta }{\beta ^{2}}}{\frac {\sin ^{2}N\gamma }{\sin ^{2}\gamma }},\qquad \beta ={\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta ,\qquad \gamma ={\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta }

I punti in cui sin ⁡ θ = n λ d {\displaystyle \sin \theta ={\frac {n\lambda }{d}}} corrispondono ai massimi principali di interferenza, che diventano infinitamente alti e stretti per N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } , mentre i punti dove sin ⁡ θ = ( 2 n + 1 ) λ 2 N d {\displaystyle \sin \theta ={\frac {(2n+1)\lambda }{2Nd}}} corrispondono ai massimi secondari di interferenza.

Diffrazione da un'apertura circolare

Nel caso di un'apertura circolare di diametro d si forma un disco di Airy, in cui l'intensità in funzione dell'angolo di diffrazione è data da:

I = I 0 [ 2 J 1 ( α ) α ] 2 , α = π d λ sin ⁡ θ {\displaystyle I=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(\alpha )}{\alpha }}\right]^{2},\qquad \alpha ={{\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta }}

dove J1 è la funzione di Bessel di ordine 1. Il primo minimo si realizza per sin ⁡ θ ≈ 1 , 22 λ d {\displaystyle \sin \theta \approx 1{,}22{\frac {\lambda }{d}}} .